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＜算数　5年下　第7回＞

　第7回は『速さと比(2)』です。この回では、比を利用して旅人算を考えます。基本は前回と同様に、速さの3要素（速度・時間・距離）のうちの何が等しい（一定）かを読みとります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞

　旅人算では、同時に出発するかたちの問題が多く、この場合は、出会う（または追いつく）までの時間は等しいことがポイントになります。

【対策ポイント1】

[必修例題1]

　兄と弟が、離れた2地点A、Bから向かい合って同時に出発して、出会う問題です。予習シリーズ65ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1)　2人が出会った地点をC地点とします。兄は弟と出会った後，BまでのCB間を9分で進み、弟は兄と出会うまでの、同じCB間を12分で進んでいます。距離が等しい（一定）とき、速度比と時間比は逆比の関係になりますので、1/9：1/12＝4：3より、兄と弟の速度比は、4：3です。
(2)　兄は、AB間を12＋9＝21分で進みます。(1)と同様に、AB間の距離は一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になりますので、AB間を進む、兄と弟の時間比は、1/4：1/3＝3：4です。よって、21分÷3×4＝28より、弟がA地に着くのは、28分後です。
また、別の解き方もあります。兄の、A→CとC→Bを進む時間比である、AC：CB＝12分：9分＝4：3より、距離比も、AC：CB＝4：3です。この距離の関係から、弟は、CB＝3の距離を12分で進みますから、AB＝4＋3＝7の距離を進むには、12÷3×7＝28より、28分と求められます。

[必修例題2]

　兄と弟が、2地点AB間を往復する問題です。予習シリーズ66ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1)　往復の距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になります。よって、兄：弟＝1/20：1/30＝3：2より、兄と弟の歩く速度比は、3：2です。
(2)　兄の速度＝3に片道の時間(20÷2＝)10分をかけることで、AB間の距離を、3×10＝30とします。距離が30離れている2地点A、Bを、兄と弟の2人が同時に出発して出会いますから、旅人算の出会いを考えて、30÷(3＋2)＝6より、2人は6分後に出会います。

【対策ポイント2】

[必修例題3]

　兄が弟を追いかける問題です。予習シリーズ67ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1)　追いつき、追いつかれるまでに、2人の進んだ距離は等しいことがポイントになります。距離が一定（等しい）のとき、速度比と時間比は逆比の関係になります。兄が走って追いかける場合、追いつくまでにかかった時間の9分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間の(6＋9＝)15分より、走る兄：弟の速度比は、1/9：1/15＝5：3です。
　また、兄が自転車で追いかける場合、追いつくまでにかかった時間の3分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間の(6＋3＝)9分より、自転車の兄：弟の速度比は、1/3：1/9＝9：3（弟の速度を3のままにします）です。弟の速さは同じ3ですから、兄の走る速さと自転車の速さは、5：9とわかります。
(2)　弟の速度＝3に10分をかけた3×10＝30より、30の距離だけ先にいる弟を兄が自転車で追いかける、旅人算の追いかけを考えます。30÷(9－3)＝5より、兄は5分後に弟に追いつきます。　
このように、速度が具体的な数値としてわかっていなくても、比の値を使って計算を進
めることができる、ということを覚えておきましょう。

[必修例題4]

　太郎君と次郎君が、離れたA、Bの2地点間を向かい合って同時に出発して往復する問題です。予習シリーズ68ページの解き方にある線分図を参照してください。2人が往復して複数回出会う問題では、線分図で内容を整頓することが必須です。

(1)　線分図に注意してください。スタートしてから1回目の出会いまでに2人合わせてAB間を1つ分進み、1回目の出会いから2回目の出会いまでに2人合わせてAB間を2つ分進んでいることを読み取りましょう。2人それぞれが、進む距離も、時間も、（1回目の出会い～2回目の出会い）は（スタート～1回目の出会い）の2倍になっています。このことから、太郎君は、スタートしてから1回目に出会うまでに、1600÷2＝800m進んでいます。よって、次郎君は、1500－800＝700m進んだところで、出会いました。出会うまでの時間は等しいので、距離比＝速度比となりますから、800：700＝8：7より、太郎君と次郎君の速度は、8：7です。
(2)　次郎君の進んだ距離を考えます。スタートして2回目の出会いまでに進んだ距離は、1回目の出会いまでに進んだ距離の（1＋2＝）3倍進みます（これを2倍としないように気をつけてください）。よって、次郎君が2回目の出会いまでに進んだ距離は、700×3＝2100mです。2100－1500＝600より、2回目に出会った地点は、A地から600mのところです。

【対策ポイント3】

[必修例題5]

　ダイヤグラムの問題です。予習シリーズ69ページの解き方にあるグラフを参照してください。

(1)　PQ間を、A君は、（70－10＝）60分、B君は、90分で進みます。よって、時間比は、A君：B君＝60：90＝2：3です。2人の速度はそれぞれ一定ですから、距離が等しいならば、時間比はいつも2：3です。2人が出会った地点Rまでの距離PRを、A君は2の時間で、B君は3の時間で進みます。ダイヤグラムより、この時間の合計は、（90－10＝）80分とわかります。よって、80÷(2＋3)×2＝32より、A君が出発してから、32分後にすれちがいます。
ダイヤグラムの問題では，この考え方がよく使われます。2人が同じ距離を進む部分で速
度と時間について，一方から他方を考える（今回は、速度から時間を考える問題）考え方です。予習シリーズ69ページの解き方にあるグラフをよく理解しましょう。

(2)　A君は、PR間を32分で進みますので、RQ間は、60－32＝28分で進んでいます。A君の速度は一定ですから、速度比＝距離比です。よって、32：28＝8：7より、PRとRQの距離比は、8：7です。

＜算数　4年下　第7回＞

　第7回は『推理して解く問題』です。問題文に与えられた条件から、推理して解く問題です。条件の整理の仕方(道具)には様々なものがありますので、ここでしっかりと学んでください。

＜今回のポイント＞

　「例題4」の対戦表や、「例題5」の順位表は、自分で作れるようにトレーニングしておきましょう。

【対策ポイント1】

[例題1]

　ふく面算といわれる問題です。アルファベットの文字A、B、C、…が、それぞれ異なった整数を表しています。与えられた条件から、それぞれが、どんな整数を表しているかを推理します。
　AからFまでの文字が、1から6までの整数を表しています。まず、「C×C＝D」に注目します。2×2＝4があてはまります（1×1＝1や、3×3＝9はできません）。つまり、C＝2、D＝4が決まりました。
　次に、Cを使った式である「B×C＝E」を考えます。C＝2ですので、3×2＝6となります。これで、B＝3、E＝6と決まりました。残っているのは、文字はAとF、整数は1と5です。「A－F＝E－C」で、「A－F」ですから、「5－1(＝4)」が決まり、等しい式である「E－C」も6－2＝4で成り立ちます。
　よって、A＝5、B＝3、C＝2、D＝4、E＝6、F＝1となります。
　このように、決めやすい式（〇×〇＝□の形がよく使われます）から考え始め、決まった整数を消していくと、解きやすくなります。

[例題2]

　2数ずつの数の大小がわかっている4つの条件から、特定の2数の差を考えます。数の差が与えられた大小関係では、線分図を利用します。予習シリーズ65ページの解き方にある線分図を参考にしてください。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記します。

　条件マル1よりA＝B＋5、マル2よりC＝D＋6、またはD＝C＋6、マル3よりD＝B＋3、マル4よりA＝C＋□ です。マル1と3より、（線分図で考えて）A＝D＋(5－3)＝D＋2、D＝B＋3となります。条件マル2で、C＝D＋6の場合、A＝D＋2より、C＝A＋(6－2)＝A＋1となりますが、マル4が成り立たちません。条件マル2で、D＝C＋6の場合、A＝D＋2＝C＋6＋2＝C＋8となり、マル4が成り立ちます。よって、AとCの差は8です。

[例題3]

　魔方陣とよばれる数の表の問題です。マスに入る数について、たて、横、ななめのどの列の数の和も等しくなっています。

(1)　1から9までの数の合計は45で、この45を、たてあるいは横に3組に分けますので、45÷3＝15より、たて1列の3マスの数の和は、15です。
(2)　(1)より、左はしのたて1列において、マス目の左上の数は、15－(1＋8)＝6となります。また、右上がりのななめの列において、中央のマス目の数は、15－(2＋8)＝5となります。よって、右下がりのななめの列において、右下のマス目の数は、15－(6＋5)＝4となります。この後は、同様に、和の15からわかっている2マスの数を引くことで、すべてのマスが決まります。解答は、予習シリーズ66ページを参照してください。
ミスが起きないように、問題の図に数字を入れていくとよいでしょう。

【対策ポイント2】

[例題4]

　サッカーの試合で、対戦相手を考える問題です。予習シリーズ67ページの解き方にある対戦表を参考にしてください。対戦表では、対戦相手との勝ち負け(○×)を同時にうめていくことが基本です。

　全試合数は、勝敗表のマス目で、○×でうまる部分の半分の数ですから、10試合です。問題文を整頓しておきます。
(ア)　Aは、Cに負け、他のB、D、Eに勝ち、3勝1敗。
(イ)　Bは、Dに勝ち、A、Eに負けました。（Cとは不明）
(ウ)　引き分けはなく、勝ち数が同じチームはありません。各チームが4試合しているので、
勝ち数は、4勝、3勝、2勝、1勝、0勝のいずれかです。(ここがポイント)

(ア)、(イ)より、A、B、D、Eのチームは、少なくとも1敗はしていますので、4勝したのはCチームとわかります。同様に、A、B、C、Eのチームは、1勝はしていますので、0勝だったのはDチームでした。BはD以外に負けているので、Bは1勝3敗。結果として、残りのEは、2勝2敗。
　まとめると、Aは3勝1敗。Bは1勝3敗。Cは4勝0敗。Dは0勝4敗。Eは2勝2敗となります。
以上のことを、表にまとめたのが、予習シリーズ67ページの解き方にある表2です。結果として、Eが試合に勝った相手は、BとDです。

[例題5]

　100ｍ競走の順位を考える問題です。

　予習シリーズ68ページの解き方にある順位表を参考にしてください。順位表では、条件に合わない部分に×をうめていくことからスタートして、1つだけ空いたところに○、また、○の入った列のたて，横で空いたところは×を入れる、という順番が基本です。
(ア)　A君の発言より、表のAの1位、4位に×を入れます。
(イ)　B君の発言より、B君は4位にはならず、D君は1位にはなりません(ここがポイント)。よって、表のB君の4位、D君の1位に×を入れます。
(ウ)　C君の発言より、表のC君の1位に×を入れます。

　以上の結果から、表の1位は、B君だけが空欄ですから、ここに○が入ります。
B君の1位が確定しましたので、表のB君の2位、3位に×を入れます。また、B君の発言より、D君は2位と決まります。
ここで、A君、C君の2位に×、D君の3位、4位に×を入れます。
この時点で、A君は空いている3位と決まり、C君は残りの4位に決まります。
よって、4人の順位は、1位はB君、2位はD君、3位はA君、4位はC君となります。

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