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No.1086 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 4・5年生(第7回)

<算数 5年下 第7回>

 第7回は『速さと比(2)』です。この回では、比を利用して旅人算を考えます。基本は前回と同様に、速さの3要素(速度・時間・距離)のうちの何が等しい(一定)かを読みとります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

<今回のポイント>

 旅人算では、同時に出発するかたちの問題が多く、この場合は、出会う(または追いつく)までの時間は等しいことがポイントになります。

【対策ポイント1】
[必修例題1]

 兄と弟が、離れた2地点A、Bから向かい合って同時に出発して、出会う問題です。予習シリーズ65ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1) 2人が出会った地点をC地点とします。兄は弟と出会った後,BまでのCB間を9分で進み、弟は兄と出会うまでの、同じCB間を12分で進んでいます。距離が等しい(一定)とき、速度比と時間比は逆比の関係になりますので、1/9:1/12=4:3より、兄と弟の速度比は、4:3です。
(2) 兄は、AB間を12+9=21分で進みます。(1)と同様に、AB間の距離は一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になりますので、AB間を進む、兄と弟の時間比は、1/4:1/3=3:4です。よって、21分÷3×4=28より、弟がA地に着くのは、28分後です。
また、別の解き方もあります。兄の、A→CとC→Bを進む時間比である、AC:CB=12分:9分=4:3より、距離比も、AC:CB=4:3です。この距離の関係から、弟は、CB=3の距離を12分で進みますから、AB=4+3=7の距離を進むには、12÷3×7=28より、28分と求められます。

[必修例題2]

 兄と弟が、2地点AB間を往復する問題です。予習シリーズ66ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1) 往復の距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になります。よって、兄:弟=1/20:1/30=3:2より、兄と弟の歩く速度比は、3:2です。
(2) 兄の速度=3に片道の時間(20÷2=)10分をかけることで、AB間の距離を、3×10=30とします。距離が30離れている2地点A、Bを、兄と弟の2人が同時に出発して出会いますから、旅人算の出会いを考えて、30÷(3+2)=6より、2人は6分後に出会います。

【対策ポイント2】
[必修例題3]

 兄が弟を追いかける問題です。予習シリーズ67ページの解き方にある線分図を参照してください。

(1) 追いつき、追いつかれるまでに、2人の進んだ距離は等しいことがポイントになります。距離が一定(等しい)のとき、速度比と時間比は逆比の関係になります。兄が走って追いかける場合、追いつくまでにかかった時間の9分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間の(6+9=)15分より、走る兄:弟の速度比は、1/9:1/15=5:3です。
 また、兄が自転車で追いかける場合、追いつくまでにかかった時間の3分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間の(6+3=)9分より、自転車の兄:弟の速度比は、1/3:1/9=9:3(弟の速度を3のままにします)です。弟の速さは同じ3ですから、兄の走る速さと自転車の速さは、5:9とわかります。
(2) 弟の速度=3に10分をかけた3×10=30より、30の距離だけ先にいる弟を兄が自転車で追いかける、旅人算の追いかけを考えます。30÷(9-3)=5より、兄は5分後に弟に追いつきます。 
このように、速度が具体的な数値としてわかっていなくても、比の値を使って計算を進
めることができる、ということを覚えておきましょう。

[必修例題4]

 太郎君と次郎君が、離れたA、Bの2地点間を向かい合って同時に出発して往復する問題です。予習シリーズ68ページの解き方にある線分図を参照してください。2人が往復して複数回出会う問題では、線分図で内容を整頓することが必須です。

(1) 線分図に注意してください。スタートしてから1回目の出会いまでに2人合わせてAB間を1つ分進み、1回目の出会いから2回目の出会いまでに2人合わせてAB間を2つ分進んでいることを読み取りましょう。2人それぞれが、進む距離も、時間も、(1回目の出会い~2回目の出会い)は(スタート~1回目の出会い)の2倍になっています。このことから、太郎君は、スタートしてから1回目に出会うまでに、1600÷2=800m進んでいます。よって、次郎君は、1500-800=700m進んだところで、出会いました。出会うまでの時間は等しいので、距離比=速度比となりますから、800:700=8:7より、太郎君と次郎君の速度は、8:7です。
(2) 次郎君の進んだ距離を考えます。スタートして2回目の出会いまでに進んだ距離は、1回目の出会いまでに進んだ距離の(1+2=)3倍進みます(これを2倍としないように気をつけてください)。よって、次郎君が2回目の出会いまでに進んだ距離は、700×3=2100mです。2100-1500=600より、2回目に出会った地点は、A地から600mのところです。

【対策ポイント3】
[必修例題5]

 ダイヤグラムの問題です。予習シリーズ69ページの解き方にあるグラフを参照してください。

(1) PQ間を、A君は、(70-10=)60分、B君は、90分で進みます。よって、時間比は、A君:B君=60:90=2:3です。2人の速度はそれぞれ一定ですから、距離が等しいならば、時間比はいつも2:3です。2人が出会った地点Rまでの距離PRを、A君は2の時間で、B君は3の時間で進みます。ダイヤグラムより、この時間の合計は、(90-10=)80分とわかります。よって、80÷(2+3)×2=32より、A君が出発してから、32分後にすれちがいます。
ダイヤグラムの問題では,この考え方がよく使われます。2人が同じ距離を進む部分で速
度と時間について,一方から他方を考える(今回は、速度から時間を考える問題)考え方です。予習シリーズ69ページの解き方にあるグラフをよく理解しましょう。

(2) A君は、PR間を32分で進みますので、RQ間は、60-32=28分で進んでいます。A君の速度は一定ですから、速度比=距離比です。よって、32:28=8:7より、PRとRQの距離比は、8:7です。

<算数 4年下 第7回>

 第7回は『推理して解く問題』です。問題文に与えられた条件から、推理して解く問題です。条件の整理の仕方(道具)には様々なものがありますので、ここでしっかりと学んでください。

<今回のポイント>

 「例題4」の対戦表や、「例題5」の順位表は、自分で作れるようにトレーニングしておきましょう。

【対策ポイント1】
[例題1]

 ふく面算といわれる問題です。アルファベットの文字A、B、C、…が、それぞれ異なった整数を表しています。与えられた条件から、それぞれが、どんな整数を表しているかを推理します。
 AからFまでの文字が、1から6までの整数を表しています。まず、「C×C=D」に注目します。2×2=4があてはまります(1×1=1や、3×3=9はできません)。つまり、C=2、D=4が決まりました。
 次に、Cを使った式である「B×C=E」を考えます。C=2ですので、3×2=6となります。これで、B=3、E=6と決まりました。残っているのは、文字はAとF、整数は1と5です。「A-F=E-C」で、「A-F」ですから、「5-1(=4)」が決まり、等しい式である「E-C」も6-2=4で成り立ちます。
 よって、A=5、B=3、C=2、D=4、E=6、F=1となります。
 このように、決めやすい式(〇×〇=□の形がよく使われます)から考え始め、決まった整数を消していくと、解きやすくなります。

[例題2]

 2数ずつの数の大小がわかっている4つの条件から、特定の2数の差を考えます。数の差が与えられた大小関係では、線分図を利用します。予習シリーズ65ページの解き方にある線分図を参考にしてください。
※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記します。

 条件マル1よりA=B+5、マル2よりC=D+6、またはD=C+6、マル3よりD=B+3、マル4よりA=C+□ です。マル1と3より、(線分図で考えて)A=D+(5-3)=D+2、D=B+3となります。条件マル2で、C=D+6の場合、A=D+2より、C=A+(6-2)=A+1となりますが、マル4が成り立たちません。条件マル2で、D=C+6の場合、A=D+2=C+6+2=C+8となり、マル4が成り立ちます。よって、AとCの差は8です。

[例題3]

 魔方陣とよばれる数の表の問題です。マスに入る数について、たて、横、ななめのどの列の数の和も等しくなっています。

(1) 1から9までの数の合計は45で、この45を、たてあるいは横に3組に分けますので、45÷3=15より、たて1列の3マスの数の和は、15です。
(2) (1)より、左はしのたて1列において、マス目の左上の数は、15-(1+8)=6となります。また、右上がりのななめの列において、中央のマス目の数は、15-(2+8)=5となります。よって、右下がりのななめの列において、右下のマス目の数は、15-(6+5)=4となります。この後は、同様に、和の15からわかっている2マスの数を引くことで、すべてのマスが決まります。解答は、予習シリーズ66ページを参照してください。
ミスが起きないように、問題の図に数字を入れていくとよいでしょう。

【対策ポイント2】
[例題4]

 サッカーの試合で、対戦相手を考える問題です。予習シリーズ67ページの解き方にある対戦表を参考にしてください。対戦表では、対戦相手との勝ち負け(○×)を同時にうめていくことが基本です。

 全試合数は、勝敗表のマス目で、○×でうまる部分の半分の数ですから、10試合です。問題文を整頓しておきます。
(ア) Aは、Cに負け、他のB、D、Eに勝ち、3勝1敗。
(イ) Bは、Dに勝ち、A、Eに負けました。(Cとは不明)
(ウ) 引き分けはなく、勝ち数が同じチームはありません。各チームが4試合しているので、
勝ち数は、4勝、3勝、2勝、1勝、0勝のいずれかです。(ここがポイント)

(ア)、(イ)より、A、B、D、Eのチームは、少なくとも1敗はしていますので、4勝したのはCチームとわかります。同様に、A、B、C、Eのチームは、1勝はしていますので、0勝だったのはDチームでした。BはD以外に負けているので、Bは1勝3敗。結果として、残りのEは、2勝2敗。
 まとめると、Aは3勝1敗。Bは1勝3敗。Cは4勝0敗。Dは0勝4敗。Eは2勝2敗となります。
以上のことを、表にまとめたのが、予習シリーズ67ページの解き方にある表2です。結果として、Eが試合に勝った相手は、BとDです。

[例題5]

 100m競走の順位を考える問題です。

 予習シリーズ68ページの解き方にある順位表を参考にしてください。順位表では、条件に合わない部分に×をうめていくことからスタートして、1つだけ空いたところに○、また、○の入った列のたて,横で空いたところは×を入れる、という順番が基本です。
(ア) A君の発言より、表のAの1位、4位に×を入れます。
(イ) B君の発言より、B君は4位にはならず、D君は1位にはなりません(ここがポイント)。よって、表のB君の4位、D君の1位に×を入れます。
(ウ) C君の発言より、表のC君の1位に×を入れます。

 以上の結果から、表の1位は、B君だけが空欄ですから、ここに○が入ります。
B君の1位が確定しましたので、表のB君の2位、3位に×を入れます。また、B君の発言より、D君は2位と決まります。
ここで、A君、C君の2位に×、D君の3位、4位に×を入れます。
この時点で、A君は空いている3位と決まり、C君は残りの4位に決まります。
よって、4人の順位は、1位はB君、2位はD君、3位はA君、4位はC君となります。

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