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第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。なお、メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。また、帯分数は、（AとB/C）の形と表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
速さと比につるかめ算を混合させた問題です。
A町からB町までは距離が等しいですから、速度比と時間比は逆比の関係になります。よって、時間比(徒歩：自転車)は、48：16＝3：1で、逆比により、速度比(徒歩：自転車)は、1/3：1/1＝1：3です。
徒歩の速さを毎分1として、これに48分をかけて、AB間の距離を1×48=48と考えます。自転車でX分（X分後に自転車がパンク）、徒歩でY分進むとすると、時間の合計は、X＋Y＝24分で、距離の合計は48となります。ここで、つるかめ算を用いて、自転車で進んだ時間を求めます。(48－1×24)÷(3－1)=12より、自転車がパンクしたのは、A町を出発して12分後です。
このように速さが途中で変化する問題ではつるかめ算を用いるケースが多くありますので、つるかめ算の解き方をしっかり確認しておきましょう。
A君とB君が、離れた2地点から向かい合って進み、往復する問題です。予習シリーズ別冊の「解答と解説」42ページの図を参照してください。テストでは自分でも図がかけるようにしておきましょう。
A君とB君が1度目に出会った地点RはPからPQ間の4/7のところですから、PQ間の距離を7として、距離の比はPR：RQ＝4：(7－4)＝4：3です。
(1) 同時に出発して、2人が出会うまでの時間は同じです。よって、速度比と距離比は同じになりますから、距離比の数より、速度比A：B＝4：3となります。
(2) A君の進んだ距離は、1度目の出会いまでに4の距離だけ進みますので、出発して2度目の出会いまでに4×3＝12の距離進みます。ここで3倍となることがポイントです(第7回を参照してください)。
よって、2度目に出会ったS地点について、SQ＝12－7＝5、SR＝5－3＝2となり、この2が360mにあたります。ですから、360÷2×7＝1260より、PQ間の距離は、1260mです。
街灯の光による、棒の影の問題です。正確な図をかいて考えることがポイントです。予習シリーズ別冊の「解答と解説」42ページの図（特に、各点の記号）を参照してください。
(1) 各点に記号をつけます。街灯の光をC、街灯の根元をD、棒Aの根元をE、影の先端をFとして、三角形CDFと三角形AEFの相似形を考えます。相似比は、FD：FE＝(9＋6)：6＝5：2ですから、CD：AE＝5：2です。ここで、AE＝3.6m。
よって、3.6÷2×5＝9より、CDである街灯の高さは、9mです。
(2) 各点に記号をつけます。(1)の各点はそのままで、棒Bの根元はF、壁にうつった棒Bの影の先端をI、かべの根元をJとします。また、Iから棒Bまで、地面と平行にひいた線と棒Bとの交点をHとし、Bから街灯まで、地面に平行にひいた線と街灯との交点をGとします。
このように平行線を引いて、三角形BHIと三角形CGBを作ることがポイントとなります。この2つの三角形が相似になることを利用します。三角形CGBと三角形BHIにおいて、GB：HI＝(9＋6)：5＝3：1が相似比です。
よって、CG＝9－3.6＝5.4mより、BH＝5.4÷3×1＝1.8mです。棒Bの長さBF＝3.6mですので、IJ＝HF＝BF－BH＝3.6－1.8＝1.8より、壁にうつったかげの長さは、1.8mです。
自分で図をかいて考えるようにすると、理解が深くなります。図をかくことを心がけてください。
分数の群数列です。組(群)としては、(1/1)、(1/2,1/2)、(1/3,1/3,1/3)、(1/4,…)、……となっています。
(1) 各組は組の数字と同じ分母の分数で、各組の個数も組の数と同じ、1個、2個、3個、……です。1/9は、第9組で、個数は9個ありますから、個数の合計は、8組まで(1から8までの和)の個数の次から、9個目までです。
よって、等差数列の和の計算で、1から8までの和を求めると、(1＋8)×8÷2＝36ですから、36＋1＝37、36＋9＝45より、1/9は、最初から数えて、37番目から45番目まで並びます。
(2) 群数列の問題で、和を求める問題では、各組の和を考えておきます。この問題では、各組の和は、すべて1です。1から10までの和は55ですから、11までの和は、55＋11＝66です。よって、70番目までは、12組の、70－66＝4個となります。1組から11組までの分数の和は、各組の和1が11ありますから、11です。12組の4個の和は、1/12×4＝1/3です。
よって、11＋1/3＝(11と1/3)より、最初から数えて70番目までにならんでいる数の和は、(11と1/3)です。
第10回は『総合』です。まずは、基本問題において、各回の内容が理解できているかを確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
勝敗の問題です。対戦表を作って解いていきますが、メルマガではできませんので、予習シリーズ別冊「解答と解説」38ページの対戦表を参照してください。
A(チーム)は、Bとの試合で負けましたが、3勝1敗ですので、他のチーム(C、D、E)に勝ちました。また、CはAには負けましたが、同じく3勝1敗ですので、他のチーム(B、D、E)には勝ちました。Dは、A、Cには負け、Eには勝っていますので、この時点で1勝2敗。Eは、A、C、Dに負けていますので、この時点で3敗です。ここで、DとEは勝ち数が同じという条件ですから、DとEは、1勝はしていて、3敗していることになります。そこで、Bの勝敗を考えますと、Aには勝ち、Cには負け、Dには勝ち、Eには負けとなります。
よって、Bが負けた相手のチームは、CとEです。
三角形の面積を求める問題です。高さがわかりません。ただし、内角の1つが30度と与えられています。
問題の図で 、10cmの辺の右上の頂点から、14cmの辺へ直角に線を引きます。この線により、30度、60度、90度の直角三角形ができました。この直角三角形は、正三角形の半分ですので、直角に引いた線の長さは、10cmの半分の5cmになります。問題の三角形で、この5cmは、底辺を14cmとしたときの高さになります。
よって、14×5÷2＝35 より、三角形の面積は、35平方cmです。
円に関連した図において、まわりの長さや面積を求める問題です。
(1) 色のついた部分のまわりの長さを求めます。同じ半径の、半円の弧と2つの四分円の弧でできていますので、長さとしては、1つの円周になります。
よって、直径が8cmですから、8×3.14＝25.12 より、色のついた部分のまわりの長さは、25.12cmです。
(2) 色のついた部分の面積を求めます。図形を移動させて、求められる形に直します(等積移動または等積変形)。この図形の下から4cmのところで横に切り分けて、上部分の半円をたてに半分にします。この2つは四分円ですので、下部分の色のついていない部分にピッタリはまります。結果、色のついた部分の面積は、たて4cm、横8cmの長方形の面積と同じになりました。
よって、4×8＝32 より、色のついた部分の面積は、32平方cmです。
練習問題から、割合の表し方について考えてみましょう。分数は、分子/分母の形で表します。
棒A、Bともに等しい長さである、水中に入っている部分(水の深さ)に注目して解いていきます。棒Aでは、135×4/5＝108 より、水の深さは108cmとわかりました。
ですから、棒Bでは、□×6/11＝108 となりますので、逆算して、□＝108÷6/11＝108×11/6＝198 より、棒Bの長さは、198cmです。
(1) 男子のうちの3人を女子のグループに入れると、27＋3＝30(人)が、男子の3/5以外の 1－3/5＝2/5 となります。ここがポイントです。
よって、30÷2/5＝30×5/2＝75 より、4年生全体の人数は75人です。
(2) (1)より、男子は、75－27＝48(人)です。男子の欠席は、48×1/8＝6(人)。女子の欠席者は、27×2/9＝6(人)。
よって、6＋6＝12 より、欠席者は合計で12人です。
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