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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第13回は『仕事算』です。仕事算は、大きく2通りあります。1つ目は、ある仕事の全体量を1として各人の仕事量を比で表して考える問題（必修問題1～3）。2つ目は、各人の仕事量を1として全体の仕事量を表して考える問題（必修例題4）です。また、全体量が増加しつつ、減少していく問題（ニュートン算）も学習します。
なお、メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表します。
必修例題3と5は、必ず理解するよう心がけましょう。
仕事算の基本的な解法の流れは、次のようになります。まず、仕事の全体量を1として、各人の1日の仕事量を比を利用して求めます。次に、この比を利用して、仕事の全体量を新たに作る、というものです。
基本的な仕事算です。
まず、仕事の全体量を1とします。A 1人で20日かけてこの仕事をしますので、A 1人が1日で、1÷20＝1/20の仕事をします(1日の仕事量)。同様に、B 1人で30日かけてこの仕事をしますので、Bの1日の仕事量は，1÷30＝1/30です。このことから、1日あたりの仕事量の比は、A：B＝1/20：1/30＝3：2となります。
この比の数値を利用して、仕事の全体量を作り直します。A 1人で20日かかるので、仕事の全体量は新たに、3×20日＝60となります (当然にBでも2×30日＝60) 。ここまでが準備です。
(1) AとBの2人がいっしょに仕事をすると、1日に3＋2＝5の仕事ができます。よって、60÷5＝12より、2人ですると、仕事を終えるまでに12日かかります。
(2) はじめに、Aが8日しますので、3×8＝24の仕事量が終わりました。残りの仕事量は60－24＝36で、これをBは、36÷2＝18より、18日間かかります。よって、8＋18＝26より、この仕事を終えるまでに26日かかります。
前問と同様の問題です。
準備として、1日の仕事量の比 A：(A＋B)＝1/24：1/15＝5：8より、1日の仕事量をAが5とすると、Bは8－5＝3、そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、5×24＝120となります。
(1) 120÷3＝40より、Bが1人でこの仕事をすると40日かかります。
(2) Aがa日間仕事をすると、5×aの仕事量、Bがb日間仕事をすると、3×bの仕事量、2人合わせて、a＋b＝28日間で、5×a＋3×b＝120の仕事をすることになります。日数(かける数量)の合計が与えられ、仕事量(積＝かけ算の答え)の合計が与えられているので、つるかめ算を使って解くことができます。
Bが28日間仕事をしたことにすると、3×28＝84の仕事ができます。差である、120－84＝36は、Bより1日に、5－3＝2ずつ多く仕事ができるAがしたことで終了しました。よって、36÷2＝18より、Aは18日仕事をしたことになります。
登場人物の3人がいっしょに仕事をしますが、途中で、仕事を休む人がいる問題です。
準備として、１日の仕事量の比 A：B：C＝1/20：1/60：1/30＝3：1：2より、1日の仕事量を、Aを3とすると、Bは1、Cは2と表されます。そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、3×20＝60となります。
以下の方針で進めて行きます。1日も休まなかったCの仕事の日数、つまり求める日数にAとBの仕事の日数をそろえて、増えた日数分の仕事量を全体の仕事量に加えます。こうして作った新たな仕事量は、A、B、Cの3人がCの仕事日数分働いた量ですので、これを3人の1日分の仕事量の和で割ることで答えに行きつくことができます。
仮にAが4日休まず、Ｂが6日休まなかったとすると、全体の仕事量は 3×4＋1×6＝18増えて、60＋18＝78になります。これを、1日に3人合わせて3＋1＋2＝6ずつ仕事をすることになりますので、78÷6＝13より、13日となります。
この仕事を休む人が含まれるパターンの出題はテストで頻出ですので、解き方をしっかり理解しておきましょう。
仕事の最小単位（基本的には、1人が1日にする仕事量）を1として、これをもとに、全体の仕事量（のべ量といいます）を表して考える問題を学習します。帰一算ともいいます。
帰一算の問題です。
1人が1日にする仕事量を1とすると、12人が5日間でする仕事量は、1×12×5＝60です。この仕事を10人でしますから、60÷(1×10)＝6より、6日かかります。
なお、はじめの設定である、1人1日の仕事量の1は、省略してもかまいません。つまり、人数×日数を全仕事量としてもよいです。
ニュートン算を学習します。
増加する量と減少する量が同時におこる問題をニュートン算といいます。
増加(わき出す水)する量があるとともに、減少(ポンプでくみ出す)する量がある問題で、ニュートン算です。
予習シリーズ126ページの解き方にある説明図を参照してください。
ニュートン算は、「(減少量－増加量)×時間＝はじめの量」の形に整頓すると、考えやすくなります。ただし、ここの減少量・増加量は時間単位1あたりの量を表します。
問題の300Ｌがはじめの量、毎分5Ｌのわき出す水が増加量、ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量が減少量となります。
(1) ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量を□Lとして整頓すると、(□－5)×30分＝300Lとなりますので、逆算をして、300÷30＋5＝15より、ポンプ1台がくみ出す量は、毎分15Lです。
(2) ポンプ2台でくみ出す時間を□分として整頓すると、(15×2－5)×□分＝300Lとなります。逆算をして、300÷25＝12より、泉は12分で空(から)になります。
ニュートン算では、線分図で内容を整頓するかどうかで、理解のしやすさが圧倒的に変わってきます。予習シリーズの図を参照して、自分でも図をかくようにしましょう。
第13回は『速さの表し方』です。速さの問題は、テストでよく出題される、中学入試算数の最重要単元の1つです。まずは、基本をしっかりと身につけてください。
速さとは、一定の時間で進む道のりを表したものです。一定の時間が1秒の場合を秒速、1分の場合を分速、1時間の場合を時速といいます。また、道のりには、mやkmが使われます。このように、速さの単位は、時間の単位と長さの単位を合わせて使いますので、単 位換算(単位を変える)の場合に注意が必要です。
なお、メルマガでは分数を使う場合、分数は、分子/分母の形で表示することにします。
速さの問題は、これからも、多くの種類の問題を学習することになりますので、基本である今回の内容をしっかり身に付けましょう。そして、単位に注意することが重要です。
速さの基本計算を学習します。速さ＝進んだ道のり÷かかった時間、の公式を覚えて使います。
(1) 3時間で、726km進みますので、726÷3＝242 より、1時間に242km進むことになります。これより、時速242kmです。
(2) 分速□mを求めます。道のりの単位はそのままの5200m、時間の単位は分ですから、1時間20分を分の単位に直して80分にします。
5200÷80＝65 より、分速65mです。
(3) (2)と同じく分速□mを求めますので、40秒を分単位にします。40秒＝40/60分です。
40/60＝2/3に約分した分数で計算します。90÷2/3＝90×3/2＝135 より、分速135mです。
分の単位で表された数を、時間の単位に直す場合が多くあります。上で使いましたように、○分＝○/60時間、同様に、△秒＝△/60分となることを覚えましょう。
単位換算の問題です。
(1) 秒速4mは、1秒間に4m進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1分＝60秒ですから、4mを60回くり返して、1分間に進む道のりになります。4×60＝240 より、分速240mです。
(2) 時速3kmは、1時間に3km進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1時間＝60分、3km＝3000mですから、3000÷60＝50 より、1分間で50m進むことになります。つまり、分速50mです。
(3) 秒速5mは、1秒間に5m進む速さで、時速□kmは、1時間に□km進む速さです。1時間＝60分＝3600秒、1km＝1000mですから、5mを3600回くり返した道のりを、m(メートル)単位からkm(キロメートル)単位に直します。5×3600÷1000＝18 より、1時間で18km進むことになりますので、時速18kmです。
(4) 時速72kmは、1時間に72km進む速さで、秒速□mは、1秒間に□m進む速さです。1時間＝3600秒、72km＝72000mですから、72000÷3600＝20 より、1秒間で20m進むことになります。つまり、秒速20mです。
速さの3公式を覚え、使えるようにしましょう。
速さと時間から道のりを求める問題です。(進んだ)道のり＝速さ×(かかった)時間、の公式を覚えて使います。
(1) 分速60mで16分進みますから、60×16＝960より、進んだ道のりは、960mです。
(2) 時速72kmの速さで、45分進みます。45分は、45/60＝3/4時間ですから、72×3/4＝54より、進んだ道のりは、54kmです。
道のりと速さから時間を求める問題です。かかった時間＝進んだ道のり÷速さ、の公式を覚えて使います。
(1) 1200mの道のりを分速75mの速さで進みますから、1200÷75＝16より、かかった時間は、16分です。
(2) 24kmの道のりを時速40kmの速さで進みます。24÷40＝24/40＝3/5より、かかった時間は3/5時間ですが、分の単位に直します。1時間＝60分より、3/5時間＝60分×3/5＝36、よって、36分かかります。
なお、速さの3公式を覚えることについて、公式3つをそれぞれ覚えることで混乱してしまうようでしたら、かけ算の形である、[速さ×時間＝進んだ道のり]を覚えて、この形に整頓したうえで、逆算する解き方もお勧めです。例えば、例題4の(1)では、□分として、75×□＝1200から、□＝1200÷75＝16と求めます。
速さの文章題を解いてみましょう。
速さの文章問題です。予習シリーズ125ページの線分図を参照してください。また、自分でもこのように内容を整頓することを心がけましょう。
家と駅は1.4kmはなれていて、みどりさんは時速4kmの速さで進みます。わすれ物をしなければ、1.4÷4＝14/40＝7/20＝21/60より、21/60時間＝21分で駅に着くはずです。実際は、8時に家を出て、8時40分に駅に着きましたので、40分かかっていますが、このうち、1分はわすれ物をさがしている時間ですので、歩いていた時間は39分です。39－21＝18分は、家からわすれ物に気づいた地点までの往復の時間ということになります。この時間(18分＝18/60時間＝3/10時間)で歩いた道のりは、4×3/10＝1.2より、1.2km＝1200mです。
よって、往復1200mですから、1200÷2＝600より、わすれ物に気づいた地点は、家から600mはなれています。
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