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算数予想問題
第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の発展的な問題と年令算を学習します。
いもづる算の仕組みをしっかり理解しましょう。きちんと理解すれば解けます。また、
3種のつるかめ算では、2通りの解法の区別を問題文から読み取れるようにしましょう。年令算では、「年令の差は常に変わらない」ということをどのように利用するかに注目
しましょう。
条件が不足しているつるかめ算で、いもづる算ともいいます。
1本180円のユリの花と1本120円のバラの花を、代金の合計が1500円になるように買います。ユリの花をA本、バラの花をB本買うとして、整頓すると、180×A＋120×B＝1500円となります。本数であるAとBの和がわかっていません。つるかめ算で解くには条件不足となりますが、このような問題がいもづる算です。
いもづる算は基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で式全体をわって、簡単な数の式にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。
結果、3×A＋2×B＝25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A＝1、B＝11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこからAとBの他の組も次々に見つかるという解法です。
この問題では、A＝1、B＝11から始めて、そこから(3×A)の増える値と、(2×B)の減る値が同じであれば、(3×A)と(2×B)の合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。3×Aで表される数を6ずつ増やすためには、3＝3×1の次は、9＝3×3、15＝3×5＝、…というように、Aを2ずつ増やしていくことになります。
一方、2×Bは22＝2×11、16＝2×8、10＝2×5、…というように、6ずつ減らすためには、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらないままになります。
まとめると、Aは(2×B)の「2」ずつ増える数、Bは(3×A)の「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)と、全部で4組あります。したがって、2種類の花の買い方は4通りです。
説明が長くなりましたが，もう一度読み返して，解き方の流れを理解してください。また、慣れないうちは、予習シリーズP.151の解き方にある図のような表を活用するとよいでしょう。
3種類のつるかめ算です。解き方が(1)と(2)の2通りあります。
1個の値段がそれぞれ60円、90円、110円である3種類の品物A、B、Cを合わせて36個買い、代金の合計が3060円になるようにします。
(1) AとBの個数を1：2の割合にする、という条件より、「Aを1個とBを2個」を1組として買うと、代金は、60×1＋90×2＝240円です。この代金を1＋2＝3個で割った、240÷3＝80円は、Aを1個とBを2個の割合で買った時の平均の値段になり、この1個80円の品物をDと名付けます。品物Cの買った個数をc個、品物Dの買った個数(品物AとBの個数の合計)をd個として、整頓すると、110×c＋80×d＝3060で、c＋d＝36ということになります。ここで、品物Cと品物Dについてのつるかめ算を解いて、dの個数を求めます。
(110×36－3060)÷(110－80)＝30より、dは30個です。よって、AとBの個数比、1：2より、30÷(1＋2)×2＝20となりますので、品物Bは20個にすればよいことになります。
(2) 個数についての条件がない場合には、次のように考えていきます。最も安いAを36個すべて買うものとします。すると、実際よりも、3060－60×36＝900円安くなっています。
ここから、Aの1個とBの1個を交換すると、90－60＝30円増えます。また、Aの1個とCの1個を交換すると、110－60＝50円増えます。AとBをｘ個交換し、AとCをｙ個交換して、900円にすればよいわけです。
まとめると、30×ｘ＋50×ｙ＝900を解くことになります。この式全体を10でわって簡単にした、3×ｘ＋5×ｙ＝90をいもづる算で解きます。(ｘ、ｙ)の組は、まず、(30、0)が見つかります。ｘは5ずつ減らし、ｙは3ずつ増やして、組を作っていきますと、(25、3)、(20、6)、(15、9)、(10、12)、(5、15)、(0、18)となりますが、(30、0)と(0、18)は、ｘやｙが0ですので、あてはまりません(1個は買うという条件に合いません)。
よって、5通りですが、Aも入れて合計36個が成り立つかどうかを確認することを忘れないでください。結果として成り立つので、買い方は5通りです。予習シリーズ153ページの解き方にある表を参照してください。
どちらの解法も、条件を整理して、学習したことのあるつるかめ算のかたちにすることがポイントとなります。
年令算について、学習します。年令算では、登場人物の間の年令の差は、いつも変わらないということがポイントになります。
父と私の年令について考える問題です。
現在、父と私の年令の和は44才で、2年後に父の年令が私の年令の3倍になります。予習シリーズ154ページの解き方にある線分図を参照してください。
(1) 2年後には、2人とも2才年をとっていますから、父と私の年令の和は、44＋2×2＝48才です。このときの私の年令を1とすると、父の年令は3となっています。和が48才ですから、私は、48÷(3＋1)＝12才です。よって、2年もどすと、12－2＝10より、現在の私は、10才です。
(2) 現在の父は、44－10＝34才で、2人の年令の差は、34－10＝24才です。この差は、何年か前も同じです。そのときの私の年令を1とすると、父の年令は5ですから、比の（5－1）分が2人の差の24才にあたります。24÷(5－1)＝6より、私が6才のときとわかります。したがって、10－6＝4より、今から4年前です。
式が多くなりますので、最後に何を求めるのかで混乱しないように十分注意しましょう。
登場人物が5人の年令算の問題です。
現在の4人家族の年令の和は、101才で、6年前には祖母もいて、年令の和は145才でした。
(1) 祖母をのぞく家族4人の6年前の年令の和は、全員が6才ずつ少なくなるので、101－6×4＝77才でした。祖母をふくめた5人の年令の和は145才ですから、145－77＝68より、6年前の祖母の年令は、68才です。
(2) 現在、祖母もいれば、68＋6＝74才で、祖母もふくめた5人の年令の和は、101＋74＝175才です。10年前には生まれていなかった妹をのぞく、4人の和は127才ですから、この4人が10才ずつ年をとって、127＋10×4＝167才になります。
よって、175－167＝8より、現在の妹の年令は、8才です。
第16回は『角すいと円すい』です。合わせて、すい体といいます。
予習シリーズ146ページと148ページの図を参照して、これらの立体の形を理解し、その上で公式を覚えましょう。また、特に148・149ページ、円すいについての用語、展開図における中心角と母線についての説明をよく読んで、「円すいの側面の公式」を使えるようにしましょう。
なお、分数は、分子/分母の形で表します。
公式を確実に使えるように。柱体とすい体の体積計算を間違えないように注意深く解いていきましょう。
角すいについて学習します。
「角すいの体積＝底面積×高さ×1/3」
直方体の頂点を結んでできる角すいの体積を求める問題です。どの面を底面とするか、そしてそのときの高さはどこかを考えます。
(1) 問題の図において、直方体の底面が四角すいの底面で、(底)面積＝6×9＝54平方cmです。そして、直方体の高さが四角すいの高さで、6cmです。よって、54×6×1/3＝108 より、四角すいの体積は、108立方cmです。
(2) どの面を底面とするかで、体積の求め方が2通り考えられます。
(ア) 後ろの面にある三角形を底面とすると、高さは直方体のたての長さになります。
底面積＝9×6÷2＝27平方cmですから、27×6×1/3＝54 より、三角すいの体積は54平方cmです。
(イ) 右側面の三角形を底面とすると、高さは直方体の横の長さになります。
底面積＝6×6÷2＝18平方cmですですから、18×9×1/3＝54 より、同じく体積は54平方cmです。
円すいについて学習します。
「円すいの体積＝底面積×高さ×1/3」
「中心角/360=底面半径/母線」
「円すいの側面積＝母線×底面半径×円周率」
円すいの展開図から、母線の長さ、円すいの表面積を求めます。
(1) 「中心角/360=底面半径/母線」を用いて、120/360=5/母線 と整頓します。
120/360＝1/3 ですから、母線の長さを□とすると、(1/3＝)5/15＝5/□となりますので、 □＝15 より、母線の長さは、15cmです。
なお、この公式は、変形して「母線×中心角/360＝底面半径」、「底面半径÷中心角/360＝母線」なども使えるようにしておきましょう。
(2) 「円すい表面積＝底面積＋側面積」となります。
円すい底面積＝円の面積＝5×5×3.14＝25×3.14、円すい側面積(公式)＝15×5×3.14＝75×3.14
よって、(25＋75)×3.14＝100×3.14＝314 より、円すいの表面積は、314平方cmです。
回転体について学習します。予習シリーズ150ページの説明をよく読んでください。
三角形や台形を回転させてできる立体の体積を求める問題です。
(1) 半径が2cmの円を底面とし、高さが3cmの円すいになります。
よって、(2×2×3.14)×3×1/3＝4×3.14＝12.56 より、この立体の体積は、12.56立方cmです。
(2) 半径が3cmの円を底面とする、高さ4cmの円柱に、高さ(7－4＝)3cmの円すいがのっている立体になります。
円柱の体積＝3×3×3.14×4＝36×3.14
円すいの体積＝3×3×3.14×3×1/3＝9×3.14
よって、(36＋9)×3.14＝45×3.14＝141.3 より、この立体の体積は、141.3立方cmです。
以前にも述べましたように、3.14のかけ算は、まとめて計算するよう心がけましょう。計算スピードが早くなり、ミスも少なくなります。また、柱体の体積計算とすい体の体積の体積計算の違い（1/3のかけ算を入れるか入れないか）に注意しましょう。
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