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算数予想問題
今回より、『早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ 算数対策ポイント！』は新6年生、新5年生、新4年生の生徒様方へ向けての内容となります。
第1回は『文章題(1)』です。ここでは和や差に関する文章題を学習します。
5年生で学習した内容の復習と同時に、発展的な問題を学習します。基本の理解を確実に進めましょう。
分配算です。ここでは、同額の増減では差が変わらないことに注目して考えます。
本を買う前の兄と弟の所持金の差は、460－330＝130円。同じ金額を出し合って本を買いましたので、本を買った後でも同じ金額の差です。つまり、弟の残りの金額と、弟の残りの金額の3倍より10円多い金額との差は、130円です。この関係を分配算で解きます。
(130－10)÷(3－1)＝60より、弟の残りの金額は60円です。よって、弟が出した金額は330－60＝270円ですから、本の値段は、270×2＝540より、540円です。
2人が同じ金額を出し合って1冊の本を買った、という条件を読み落とさないよう注意して下さい。
3種類のつるかめ算です。3種類のつるかめ算は、2種類に減らして、普通のつるかめ算として解きます。減らす方法として、個数(ここでは、冊数)に条件がついている場合は、平均を利用します。
150円のノートと90円のノートの冊数の比が2：1ですので、このことから、平均を利用して、(150×2＋90×1)÷(2＋1)＝130円のノートとして考えます。150円のノート2冊と90円のノート1冊の合計が、130円のノート3冊分となるので、この130円のノートに3冊、6冊、…と、冊数をかけると、代金の合計が150円のノートと90円のノートの合計の金額になります。
さて、準備は整いました。100円のノートと130円のノートを合わせて13冊買って、代金合計が1570円になる、といったかたちから、つるかめ算で解いていきます。130円のノートを13冊買うと、130×13＝1690円で、1690－1570＝120円の差を、100円のノートに1冊ずつ交換していきますので、120÷(130－100)＝4より、100円のノートは4冊買うことになります。
個数を逆にした差集め算です。
代金が2550円から2970円に増えたのは、80円切手を150円切手より多く買う予定のところを、実際には枚数を逆にして、150円切手を多く買ったためです。枚数を1枚ずつ交換していくことを考えると、1枚の交換で(150－80＝)70円ずつ代金が高くなりますので、(2970－2550)÷70＝6より、6枚交換したことになります。
つまり、実際には150円切手を80円切手より6枚多く買いました。
そこで、150円切手の買った枚数を求めるために、80円切手を買った実際の枚数を、150円切手を買った実際の枚数にそろえます。実際の代金である2970円に80×6＝480円を加えて、2970＋480＝3450円とします。この金額は、80円切手と150円切手を1枚ずつ組にした、80＋150＝230円が何組あるかの金額となりますので、3450÷230＝15より、15組ですから、150円切手を買った枚数は、15枚です。
第1回は『倍数と約数の利用』です。4年生で学習した内容の確認と発展的な内容を学習します。A÷B＝Cのわり算において、AはBやCの倍数、BやCはAの約数、ということを基本に考えていきます。
問題の中の条件を整頓して、約数を考えるのか倍数を考えるのかを判断できるようにしましょう。また、2つ以上の整数に共通な倍数や約数を求めるには、何に注目すればよいかを学習していきましょう。
倍数と約数について、基本を確認します。
あまりのあるわり算が2つあり、共通のわる数を求める問題です。
問題内容を式にすると、148÷a＝〇あまり4、200÷a＝△あまり2です。あまりを無くして考えますと、144÷a＝〇、198÷a＝△となりますので、aは144と198の共通の約数、つまり公約数です。
ここで、大切なことは、公約数は最大公約数の約数である、ということです。公約数を考えるときは、最大公約数を求めて、その約数を求めれば、公約数を求めたことになります。
そこで、連除法により、144と198の最大公約数を求めると、18です。よって、18の約数は、{1、2、3、6、9、18}ですが、ここにも注意が必要です。あまりが4と2ですので、わる数は、あまりより大きくなければなりませんから、4以下はのぞきます。よって、わる数aは、{6、9、18}です。
公倍数の問題です。
18と42の共通の倍数、つまり公倍数を求めます。公倍数は、最小公倍数の倍数ですから、まず連除法により、18と42の最小公倍数を求めますと、126です。
(1) 小さい方から5番目の整数は、126を5倍した数ですので、126×5＝630 より、求める整数は、630です。
(2) 126の倍数で、3000に近い整数を求めます。3000÷126＝23あまり102 より、3000－102＝2898 が求まりますが、「最も近い整数」
は、3000をこえてもかまいませんので、2898＋126＝3024 も考えて、より3000に近い方を答えとします。ここがポイントです。結果として、3000に最も近い整数は、3024です。
わり算のあまりと等差数列、について学習します。
等差数列と、倍数の関係を考える問題です。3でわると2あまる数を、小さい方から求めると、
2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、…… と、はじめの数が2で、公差が3の等差数列となります。
4でわると1あまる数も、同様に小さい方から求めると、
1、5、9、13、17、21、25、29、…… と、はじめの数が1で、公差が4の等差数列となります。
(1) 上の2組の数列に出てくる共通の数、5、17、29、が答えです。ここで、5、17、29、…… について考えてみましょう。これは、5の次の数として、公差3の倍数と公差4の倍数ずつ増える数列ですので、3と4の最小公倍数である12ずつ増えていくことによるものです。
(2) (1)より、はじめの数が5で、公差が12の等差数列になっていますので、5＋12×(20－1)＝233 より、小さい方から20番目の整数は、233です。
(3) 3けたの最大は、999ですから、これに近い整数を求めます。5＋12×(〇－1)＝1000 として、逆算すると、〇＝(1000－5)÷12＋1＝82.…＋1＝83.… となりますので、〇＝83として計算すると、5＋12×(83－1)＝989 より、3けたで最も大きい整数は、989です。
周期に着目します。
最小公倍数を利用して周期を考える問題です。
2台の機械A、Bがあり、Aは6分ごとに、Bは8分ごとに1個の製品を作ります。6分と8分の最小公倍数は24分で、この24分間に製品を何個作れるかを、1つの周期と考えます。機械Aは、24÷6＝4個、機械Bは、24÷8＝3個 より、1周期に合計7個の製品を作ることができます。200÷7＝28周期あまり4 より、あまりの4個を作る時間を調べます。
予習シリーズ12ページの解き方にある図を参照してください。16分で4個作ることがわかります。このような図を自分でかくことも必要です。よって、24分を28周期と、16分かかりますので、24×28＋16＝688 より、688分かかりますから、結果として、11時間28分後です。
第1回は『かけ算とわり算の文章題』です。
いろいろな数の計算が多くなりますが、一歩一歩、確実に理解することを心がけて進んでいきましょう。
問題でどのような計算が必要となるかをしっかり考えましょう。また、かけ算やわり算の筆算のやり方をきちんと身につけましょう。
なお、計算については、毎日のトレーニングが大切です。頑張って、続けましょう。
予習シリーズ6ページの説明をよく読んでください。かけ算の使い方，用語を理解して進めましょう。
かけ算の問題です。
1個275円のボールを15個買ったときの代金を求める問題です。同じ数（275）を何回（15）もたしていきますから，かけ算を利用します。275×15＝4125 より，代金は，4125円です。
0（ゼロ）のついた数のかけ算の問題です。
例えば、20×8＝160ですが、2×8＝16と計算して、16の右(一の位)に0をつけることで同じ答えにすることができます。また、30×500＝15000の場合も、3×5＝15と計算して、15の右に0を (30の1つと500の2つの合計) 3つつけることで同じ結果となります。
このように、かける数とかけられる数、それぞれの数のおわりの0をはずして、かけ算をして、その答えにはずした0の個数の合計分だけ0をつけると、正しい答えになります。
けた数の多い筆算をする手間が省けますので、計算方法をしっかり身につけましょう。
ある遊園地の入園料は1人1200円で、280人分の入園料の合計を求める問題です。
1200×280の計算をします。0をはずして計算します。12×28＝336です。この答え336にはずした0の個数（1200の2つと280の1つの合計）3つをつけます。よって、入園料の合計は336000円です。
予習シリーズ8ページの説明をよく読み，理解して進みましょう。答えを「たてる」→ たてた答えとわる数を「かける」→ わられる数からかけた数を「ひく」。このように、わり算の筆算は、「た・か・ひく」をくりかえします。
わり算の問題です。ある量をおなじ数ずつに分ける（等分する）問題は、わり算を使います。
(1) 63ｍを5ｍずつに等しく分ける問題ですから、わり算をすることになります。63÷5＝12あまり3より、12本切り取れて、3ｍあまります。
(2) 641人を1台のバスに乗れる人数28人ずつに等しく分けます。641÷28＝22あまり25より、バスを22台としてしまわないよう注意しましょう。あまりの25人も乗るための1台が必要となりますので、22＋1＝23 より，必要なバスは，23台です。このように、わり算の商だけが問題に合っているわけではなく、商もあまりも、何を表しているかをよく考えることが大切です。
0（ゼロ）のついた数どうしのわり算の問題です。
例えば、180÷60＝3は、18÷6＝3と同じ答えです。また、4000÷800=5は、40÷8＝5と同じ答えです。
このように、わられる数とわる数から、0をおなじ個数だけ、はぶいて(取り除いて)計算しても、わり算の答えは同じ結果となります。ただし、例えば、4500÷80＝56あまり20では、450÷8＝56あまり2とくらべると、あまりがことなります。
0を取り除いて計算したわり算であまりがでる場合は、あまりには取り除いた0をつけもどさなければならないことに注意してください。予習シリーズ10ページの説明をよく読んで理解しましょう。
8700円の貯金から240円のおかしをできるだけ多く買う問題です。8700円を240円ずつ等しく分けます。8700÷240の割り算ですが、わられる数とわる数から0を1つずつ取り除いて、870÷24＝36あまり6となります。
ここで、あまりの6は，取り除いた0をつけた60となることに注意してください。この計算結果から、おかしは36個買えて，あまりは60円となります。
かけ算・わり算の文章題です。問題文の中の条件をしっかりと読み取りましょう。
1個15円の赤いビー玉28個と1個18円の青いビー玉を何個か買って，1000円のおつりが130円になったとき，青いビー玉を何個買ったのかという問題です。整理すると，
赤いビー玉だけの代金は，15×28＝420円
青いビー玉だけの代金は，18×□＝○円
合計の代金は，1000－130＝870円 となります。
ここから，870－420＝450円 が，青いビー玉だけの代金とわかります。よって，450÷18＝25 より，青いビー玉は，25個買いました。
毎日の計算トレーニングを大切にしましょう。
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