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第4回は『条件整理・場合の数』です。
条件整理の問題では、言葉通り、条件をいかに整理するかがポイントです。また、場合の数の問題では、基礎処理がいくつもありますので、基本をマスターすることを心がけましょう。
条件整理、場合の数ともに、まさに条件が重要ですから、問題文をしっかり読み、条件もれが無いようしましょう。また、必修例題3は、要注意です。
場合の数について学習します。
組み合わせと並び方をどちらも使った問題です。3つのサイコロで出た目の和が9の倍数になるものを考えます。和としては、9と18になる場合を考えます。
(A) 和が9になる組み合わせは、ア(1、2、6)、イ(1、3、5)、ウ(1、4、4)、エ(2、2、5)、オ(2、3、4)、カ(3、3、3)となります。次に、それぞれ、大、中、小どのサイコロがどの目をだすかの並べ方の計算になります。3つとも異なる目を出す場合は、3×2×1＝6通り、2つが同じ目で、1つが異なる目を出す場合は、3つのサイコロのうちの1つに異なる目が出ることを考えて3通り、3つとも同じ目のときは、1通りです。ですから、ア、イ、オは6通りで6×3＝18、ウ、エは3通りで3×2＝6、カは1通りとなります。よって、18＋6＋1＝25通りです。
(B) 和が18になる組み合わせは、(6、6、6)の1通りのみです。
よって、(A)と(B)を合計して、25＋1＝26より、全部で26通りとなります。
4枚のカードのうち3枚を並べて3けたの整数を作る問題です。0のカードがある場合は要注意です。
問題1
百の位には0は使えませんので、百の位は、(0のカード以外)3枚のカードを並べることができますので3通り、十の位には、百の位に使ったカード以外(0のカードもふくむ)を並べることができますので3通り、一の位には、百の位、十の位に使ったカード以外をならべますので2通り、のそれぞれの並べ方があります。
よって、3×3×2＝18より、18通りあります。
問題2
偶数の整数ですから、一の位に0か2を並べるという条件になります。0と2は、同じように考えることはできませんので、場合に分けて考えます。
(A) 一の位に0を並べるとき
□□0のときは、百の位、十の位に、{1、2、3}のどれを並べてもよいので、3×2＝6通りです。
(B) 一の位に2を並べるとき
□□2のときは、百の位は、0は使えませんので、{1、3}の2通り、十の位は、2と百の位に並べたカード以外の2通りで、2×2＝4通りです。
よって、(A)と(B)を合計して、(6＋4＝)10通りとなります。
知っておくべき問題です。予習シリーズ54ページの解き方を参考にしてください。
50円切手の代金は50の倍数になりますので、10、20、30、40、50の5つで一区切りにして行をかえて、60、70、80、…と5つずつ、行をかえて書きます。このように書くと、50のある列はすべて50の倍数ですから、代金としては作ることができます。そこでこの列を50からすべて直線で消します。
次に、80円切手の代金ですが、数列の80のところと、その列の80から下は80に50ずつ増える数ですから、すべて代金としてできますので、80からすべて直線で消します。この作業をくり返します。
次に考える数は、80の倍数です。160、240、320、と見つけて、その数を先頭にその列をすべて直線で消します。すると、5列すべてに直線が引かれますので、このときに、直線が引かれずに残っている数のうち、最も大きい数である270が、作ることのできない金額の中で最も高い金額です。
よって、作ることができない金額の中で、もっとも高い金額は270円です。
A、B、C、D、E、の5つの場所があり、Aにおいてあるコマを、サイコロの目の出方によって、コマを進める問題です。
偶数の目は時計回り、奇数の目は反時計回りに進めるルールです。回り方が2通りありますので、複雑に感じます。そこで、すべて時計回りとして、ルールを変えてしまいます。
1の目が出たときは、Eに進みますが、これは時計回りで4つ進んだことになります。同様に、3の目が出たときは、Cに進むので、時計回りで2つ進み、5の目が出たときは、Aに進むので、時計回りで0つまり、進まないことになります。時計回りにサイコロの目の出方をまとめると、1は4進め、2は2進め、3は2進め、4は4進め、5は0進め、6は1進めることになります。準備は整いました。
サイコロを2回投げてコマがAにくるのは、2つの目の和が0か5の場合です。
(A) 0になるのは、0＋0＝0ですから、出る目は(5、5)の1通りです。
(B) 5になるのは、1＋4＝5で、組み合わせとしては、出る目が(6、1)か(6、4)ですが、出る順番がそれぞれ2通りありますので、2×2＝4通りです。
よって、1＋4＝5より、全部で5通りあります。
第4回は『いろいろな差集め算』です。
例えば、5人の子どもに折り紙を配る場合を考えます。2枚ずつ配る場合と、4枚ずつ配る場合では、配る折り紙の合計枚数には、10枚の差ができます。これは、子ども1人について2枚ずつの差ができて、この2枚ずつの差が5人分で、10枚となるわけです。つまり、1人についての枚数の差（1つ分の差）に人数（いくつ分）をかけると、全体の枚数の差（全体の差）を求めることができます。
このように、「(1つ分の差)×(いくつ分)＝(全体の差)」の仕組みを使って解く問題を差集め算といいます。解法としては、（いくつ分）をそろえて考えます。各問題の解説にある図を参照して下さい。
上に述べた、(1つ分の差)、(いくつ分)、(全体の差)を読み取る、あるいは問題文の条件から求められるかが重要です。以下の内容をしっかり理解して進みましょう。
全体の差は、いくつかを考えます。パターンは3つあります。
(1) あまりの数量と不足する数量では、2つの数量の和が、全体の差です。
(2) あまりの数量とあまりの数量では、2つの数量の差が、全体の差です。
(3) 不足する数量と不足する数量では、2つの数量の差が、全体の差です。
あまった枚数と不足した枚数から、全体の差を考えて、解く問題です。
(1) あまり18枚と、不足8枚です。子どもの人数を□人とします。(6－4)×□＝18＋8 より、□＝26÷2＝13です。よって、4×13＋18＝70より、用意した折り紙は、70枚でした。
(2) あまり40個と、あまり8個です。子どもの人数を□人とします。(9－5)×□＝40－8 より、□＝32÷4＝8です。よって、5×8＋40＝80より、用意したアメは、80個でした。
(3) 不足23本と、不足2本です。子どもの人数を□人とします。(9－6)×□＝23－2 より、□＝21÷3＝7です。よって、9×7－23＝40より、用意したえんぴつは、40本でした。
（いくつ分）の数がそろっていない場合を学習します。難易度が上がりますので、式の立て方をしっかり理解するようにしましょう。
Aさんが1個80円のおかしを、Bさんが1個70円のおかしを買います。Aさんの方が、個数は2個多く、代金は230円多くはらいました。
(いくつ分＝)個数を、Bさんにそろえます。つまり、Aさんの買ったおかしの個数を2個少なくします。すると、代金は、(80×2＝)160円少なくなり、代金の差は、(230－160＝)70円になります。Bさんの買った個数を□個とすると、(80－70)×□＝70 となります。
□＝70÷10＝7…Bさんの買った個数
よって、7＋2＝9 より、買ったおかしの個数は、Aさんは9個、Bさんは7個でした。
1個の値段が不明な問題を学習します。
ミカンを買うとちょうど15個買える金額です。この金額で、1個について、ミカンよりも50円高いリンゴを買うと8個買えて20円あまります。
(1) リンゴ8個をミカン8個に交換することを考えます。1個交換すると、50円もどってきますから、8個交換すると、50×8＝400 で、400＋20＝420 より、420円あまります。
(2) (1)の結果、ミカンについて、持っている金額で、ミカンを15個買うとちょうどとなり、8個買うと420円あまります。
(420－0)÷(15－8)＝60 …ミカン1個60円
よって、60×15＝900 より、Aさんは900円持っています。
とりちがえの問題です。
例えば、50円切手を80円切手より1枚多く買う予定が、逆に80円切手を50円切手より1枚多く買ったとすると、とりちがえにより、80－50＝30円高くなります。予習シリーズ47ページの解き方にある図を参照してください。
このタイプの問題はテストで頻出です。式を丸暗記するのではなく、なぜその式になるのか、といった理由まで確認するようにしましょう。
実際の代金が予定の代金より180円安くなるのは、180÷(80－50)＝6より、6枚分をとりちがえたからとわかります。
また、とりちがえた結果、代金が安くなるということは、もともとは50円切手を80円切手より6枚少なく買う予定だったことになります。どちらを多く買う予定だったかを間違わないように気をつけてください。
合わせて20枚買いますので、和差算で、(20＋6)÷2＝13、20－13＝7より、50円切手を13枚、80円切手を7枚買いました。
第4回は『和と差の問題』です。
2つの量の和と差から、2つの量それぞれを求める問題です。予習シリーズ36ページにある線分図を参照してください。考え方の基本にあるのは、求める量の2つ分を作ることです。
問題文を読むときに、何が和を表しているのか、何が差を表しているのかを正確につかむことを心がけましょう。また、線分図は、算数を解くうえで大変重要な道具ですので、問題内容を整頓するためにも線分図をかく練習を今から重ねておきましょう。
線分図から求める量をどのように計算するかを学習する問題です。
文章にすると、“直線Aと直線Bがあり、2本の直線の長さの和は22で、長さの差は6です。長い方の直線Aの長さはいくつですか。”という問題になります。短い直線Bを6長くすると、直線Aの長さが2本分となり、合計は22＋6＝28になります。
よって、28÷2＝14より、直線Aは10となります。
この計算を1つの式で表すと、(22＋6)÷2＝14となります。
和差算の文章題です。
29匹(ひき)のメダカがいて、オスがメスより5匹多いときの、メスの数を求めます。オスの数をメスの数にそろえることを考えます。メスの数はオスより5匹少ないので、合計の29匹から5匹を引くと、メスの数の2つ分になります。よって、(29－5)÷2＝12より、メスの数は、12匹です。
内容は単純な問題ですが、頭の中だけで処理しようとすると大小関係で間違えてしまうことが多くあります。線分図で内容を整頓する習慣を身につけておきましょう。
和を求める方法の1つに、「平均」があります。予習シリーズ38、39ページの平均の説明をよく読み、理解しましょう。
文章中の条件から和と差を読み取ることがポイントになります。
(1) 2人の年令の平均が13才ですから、ここから2人の年令の和は、13×2＝26才とわかります。
(2) 兄は弟より4才年上ということから、2人の年令の差が4才とわかります。和の26才と、差の4才を使って、和差算を解きます。
(26＋4)÷2＝15より、兄の年令は、15才です。
3つの数量の中で和や差を使って、特定の数量を求める問題です。線分図をかいて整頓することが大切です。予習シリーズ40ページの解き方にある線分図を参照してください。
(1) 三郎君は一郎君より2まい多く持っていて、一郎君は二郎君より5まい多く持っています。よって、2＋5＝7より、三郎君は、二郎君より7まい多く持っています。
(2) 二郎君の持っているまい数と同じになるように、一郎君の持っているまい数を5まい少なく、三郎君の持っているまい数を7まい少なくします。すると、3人の持っているまい数の合計は、42－5－7＝30まいになりますが、これは、二郎君の持っているまい数の3つ分です。よって、30÷3＝10より、二郎君の持っているまい数は、10まいです。
和差算では、問題の条件をきちんと理解することが重要です。そのためには、必ず線分図をかくことを心がけましょう。
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