ログイン
新規登録
お申込の流れ

No.1167 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数上対策ポイント 6年生(第11回)4・5年生(第12回)

<算数 6年上 第11回>

 第11回は『数と規則性(3)』です。等差数列、群数列、既約分数、数表などを学習します。

<今回のポイント>

 各問題の解法ポイントを、下の解説を読んで理解して下さい。規則性の問題は、その名の通り、簡単な例を自分で書き出して、規則を見つけることです。ぜひ、実践してください。

【対策ポイント1】
[必修例題1(2)]

 階差数列の問題です。階差数列とは、前後の2数の差が等差数列になっている数列です。並んでいる数列の差を書き出すと、1,2,3,4,5,…と等差数列になっています。
この数列で、例えば5番目の数である11を、計算で求めてみましょう。
1+(1+2+3+4)=11 となります。5番目の数は、1に1から順に(5-1=)4までの和を加えて求めることがわかります。
マル1(マルの中に数の入った記号は文字化けしますので、このように表記します。):左から10番目の数は、1+(1から9までの数の和)=1+45=46 より、46です。
マル2:92-1=91 より、1から□までの和が91になる□を求めます。1から10までの和は55ですから、その先を順に加えて求めます。13まで加える(1から13までの和)と91となりました。よって、13+1=14 より、92は、左からかぞえて14番目の数です。

【対策ポイント2】

 群数列について学習します。群数列とは、群(組)で数列になっているものをいいます。

[必修例題2]

 分数の群数列の問題です。分数の群数列では、組ごとに、分母の数、組の個数、組ごとの和、などを調べておくと解きやすくなります。なお、分数は、分子/分母 の形で、帯分数は(整数と分子/分母)の形で表します。
 第1組は、分母が2の分数で、個数は1個、和は1/2です。第2組は、分母が3の分数で、個数は2個、和は1です。第3組は、分母が4の分数で、個数は3個、和は(1と1/2)です。第4組は、分母が5の分数で、個数は4個、和は2です。以下、続きます。
(1) 分母が13ですから、第12組とわかります。分子の8より、問われている分数は、第12組の8個目です。よって、(1+2+…+10+11)+8=74 より、74番目です。
(2) 1から9までの和は45(9組までの個数)ですから、50-45=5 より、50番目の数は、第10組の5番目です。よって、第10組の分母は11で、分子は5となりますので、5/11です。
(3) 各組の和を、加えていきます。第1組から順に、各組の和を、すべて分母2の分数で表していくと、1/2+2/2+3/2+4/2+… で、第9組の和である9/2までの和は、等差数列の和です。これに、第10組の5個である1/11から5/11までの和を加えます。第1組から第9組までの和は、分子の和が1から9までの和である45で、分母が2ですから、45/2、第10組の5個の和は、15/11です。
よって、45/2+15/11=525/22 より、1番目から50番目までの分数の和は、(23と19/22)です。

[必修例題3]

 前問と同様、群数列の問題です。どこまでを組とするかがポイントです。
 3と4の倍数が関係しているので、その最小公倍数である12までを考えますと、1、2、5、7、10、11 となり、その後は、13、14、17、… と続きます。この第1組である、{1、2、5、7、10、11}は、整数を12で割ったときのあまりを組にしていることがわかります。その後も同様で、6個1組で、続きます。
(1) 53÷12=4あまり5 より、53は、(4+1=)5組の(あまりの5は)3番目です。よって、6×4+3=27より、53は27番目の数です。
(2) 100÷6=16あまり4 より、(16+1=)17組の4番目です。第17組の数は、12で割ったときの商が16で、4番目のあまりは、7ですから、12×16+7=199 より、100番目の数は、199です。

【対策ポイント3】
[必修例題6]

 三角数の数表問題です。三角数とは、1から順に整数をたした答えを順に並べた数をいいます。1、(1+2=)3、(1+2+3=)6、以下、10、15、21、…と続きます。
 問題の数表は、左下がりの45度の線上に数が順に並んでいます。そして、各行の1列の数は、この三角数になっています。予習シリーズの解説とは異なった解き方で、三角数を中心に解いてみましょう。仕組みは同じです。
(1) 数の並び方から、1行目・8列目の数は、7行目・1列目の数に1を加えた数です。7行目・1列目の数は、三角数の7番目の数で、1+2+……+7=(1+7)×7÷2=28です。
よって、28+1=29 より、1行目・8列目の数は、29です。
(2) 50に近い三角数は、1から9までの和の45があります。50-45=5 より、9行目・1列にある45の次は、1行目・10列目から並ぶ45度線上で、50は、この45度線上の5つ目です。この5つ目は、10-5+1=6 より、6列目となります。
よって、50は、5行目・6列目です。
簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。予習シリーズ143ページの解き方の図(数表)を参照してください。
(3) 三角数の数表では、同じ45度線上の数は、行数と列数の和がすべて同じになっています。予習シリーズの解き方にある、「たとえば、…」を参照してください。このことに注目して解きます。
8行目・5列目は、8+5-1=12 より、1行目・12列目から始まる45度線上の8つ目です。結果として、その前(11行目・1列目)にある、三角数の11番目の数66に、8を加えた数となります。
よって、66+8=74 より、8行目・5列目の数は、74です。
ここでも、簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。

<算数 5年上 第12回>

 第12回は『場合の数-組み合わせ方-』です。今回は、「組み合わせ」を学習します。組み合わせとは、選ぶ順番は考えずに、組のメンバーを選ぶ場合の数をいいます。例えば、A、B、C、D、Eの5人の中から2人の組を考えます。並べ方では、順番を考えて、ABとBAは別々に2通りと数えますが、顔ぶれは同じなので、AとBの組み合わせ(選び方)では1通りと数えます。

<今回のポイント>

 場合の数は、中学入試に出題される問題では難問が多い内容です。公式的な部分もありますが、どんな条件があるのかを、きちんと読み取ることが重要です。

【対策ポイント1】

 樹形図による解き方の復習をします。

[例題1]

 組み合わせの問題です。赤いボールが3個、白いボールが1個、青いボールが2個の合計6個のボールの中から3個の組み合わせを考えます。同じ色の玉がある場合には注意が必要で、樹形図を利用します。予習シリーズ126ページの解き方にある樹形図を参照して下さい。
樹形図をかく場合、選ぶ色の順番を決めておくことがポイントになります。たとえば、赤-白-青の順に並べることにすると、白の後に赤を並べることはしません。また、青の後に赤や白を並べることはしません。これにより、重複(ちょうふく)をさけることができます。このことを、「Uターン禁止」と名付けます。組み合わせを樹形図で考える場合には、このUターン禁止が重要です。結果、予習シリーズ126ページの樹形図ができますので、答えは、6通りです。

【対策ポイント2】

 組み合わせの問題を計算で解くことを学習します。

[例題2]

 前問と同様に組み合わせの問題ですが、計算で求めます。
(1) A、B、C、D、Eの5人の中から日直の2人を選びます。選ぶ2人を、並び方の規則(積の法則)で計算すると、5×4=20通りになります。ですが、冒頭で説明しましたように、AとB、BとAのように、顔ぶれとしては同じものが含まれます。つまり、並び方の20通りの中には、選び方としては、2通りずつ同じものが入ります。そこで、20÷2=10より、2人の日直の選び方は10通りとなります。
 この問題のように、選び方(組み合わせ)の計算では公式を作ることができます。全体数N個の中から、A個を選ぶ場合の選び方の計算(簡単に、NのAの組み合わせといいます)は、[NのA]の並び方の計算結果を、[AのA]の並び方の計算結果で割り算します。
例えば、この問題では、[5の2]の並び方の計算結果である、(5×4)を、[2の2]の並び方の計算結果である、(2×1)で割ります。以下のようになります。5の2の組み合わせは、(5×4)÷(2×1)、5の3の組み合わせは、(5×4×3)÷(3×2×1)、6の2の組み合わせは、(6×5)÷(2×1)、6の3の組み合わせは、(6×5×4)÷(3×2×1) となります。
(2) 7人の中からそうじ当番を3人選びます。(7×6×5)÷(3×2×1)=35 より、そうじ当番の組み合わせは、35通りです。なお、これらの計算は、分数を利用すると、約分ができて計算が素早く正確にできます。

[例題3]

 男子6人と女子3人の9人の中から、そうじ当番を4人選びます。上の公式を利用して計算します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
(1) 男子6人の中から4人を選ぶ問題です。6の4の組み合わせ計算で、(6×5×4×3)÷(4×3×2×1)=(6×5×4×3)/(4×3×2×1)=15より、15通りです。
この問題で、6人から4人を選ぶということは、2人が残るということですから、この残りの2人の選び方を考えてもよいのです。6の2の組み合わせの問題となります。(6×5)/(2×1)=15 となり、結果は同じ15通りです。つまり、6の4の組み合わせ計算は、6の(6-4=)2の組み合わせ計算と同じ結果が得られます。
このことは、よく使われる考え方です。たとえば、「12色の色鉛筆の中から10色の色鉛筆を選びなさい」、といった問題でも、これは、12の(12-10=)2の組み合わせ計算の問題になります。より小さな数の組み合せの問題として解く方が、間違いが起こる可能性を減らすことができます。
(2) 男子6人の中から3人を選び、女子3人の中から1人を選ぶ問題です。これは、男子は6の3の組み合わせ計算、女子は3の1の組み合わせ計算で、この2つの計算結果を積の法則で計算します。男子は、(6×5×4)/(3×2×1)=20通り。女子は3通りです。男子、女子を同時に選びますので、積の法則により、20×3=60の60通りです。

[例題4]

 直線アの上に4個の点、直線イの上に2個の点があり、これらの6個の点から、3個を選んで結び、三角形を作る問題です。6の3の組み合わせ計算ですので、(6×5×4)/(3×2×1)=20となるところですが、直線アの上の点のうち、どの3個の点を使っても三角形はできないことに注意が必要です。直線アの上で、4の3の組み合わせはのぞかなければなりません。(4の3の組み合わせ)=(4の1の組み合わせ)、ですので、4通りあります。よって、20-4=16 より、三角形は16個できます。

[例題5]

 0、1、2、3、4の5枚のカードから3枚を選んで、3けたの3の倍数が何通りできるかを考える問題です。まず、「3の倍数となる数は、各位の数字の和が3の倍数になっている」ことを確認してください。予習シリーズ130ページにある、各倍数の見分け方を覚えましょう。そこで、5枚のカードの中から3枚を選んで、その3枚の数字の和が3となる組み合わせを作ります。なお、3枚のカードの合計は、最大でも2+3+4=9ですから、3の倍数は3、6、9です。3つの数の和が3の倍数となる数の組み合わせは以下の4つ(ア~エ)となります。ア(0、1、2)、イ(0、2、4)、ウ(1、2、3)、エ(2、3、4)、それぞれの並べ方を考えます。
(ア) 百の位→(0をのぞく)2通り、十の位→(百の位においたカード以外)2通り、一の位→(残り)1通りが置けますので、2×2×1=4通り作ることができます。
(イ) (ア)と同様で、4通り
(ウ)(エ) どちらも条件はありませんので、百の位、十の位、一の位の順に並べ方を考える
と、3×2×1=6通りずつできます。場合に分けましたので、和の法則を使って、4+4+6+6=20より、3けたの3の倍数は全部で20通りできます。

【対策ポイント3】
[例題7]

 試合数の問題です。試合の仕方は、(1)のリーグ戦(総当たり戦)と、(2)のトーナメント戦(勝ち抜き戦)があります。名前を覚えるとともにしっかり区別して下さい。
(1) リーグ戦は、それぞれのチームが他のチームと総当たりで対戦する試合方法です。6チームのうち、2チームずつが対戦しますから、6の2の組み合わせ計算ということになります。よって、(6×5)/(2×1)=15より、15試合となります。
(2) トーナメント戦は、最後に1チームが優勝しますが、このことは、残りの5チームは各試合で負けるということです。1試合で1チームが負けますので、5チームが負けるということは、5試合ある、ということです。つまり、トーナメント戦では全チーム数から優勝する1チームをのいた数が、試合数となるわけです。答えは5試合です。

<算数 4年上 第12回>

 第12回は『間の数を考える問題』です。問題の中心は、植木算といわれる問題です。予習シリーズ110ページの説明をよく読みましょう。また、各例題の前の説明も理解しましょう。まとめておきます。植木算は、直線の道や丸い池のまわりにそって木を植える場合の、木の本数と道や池のまわりの長さとの関係を考える問題です。全体の長さは、「1区間(木と木の間)の長さ×区間の数」で求められます。この区間の数と植えた木の本数の関係を整頓しておきます。
(ア) 両はしに木が植えてある場合は、木の本数-1=間(区間)の数です。
(イ) 両はしには木が植えられない場合は、木の本数+1=間の数です。
(ウ) 池のまわりに木を植える場合は、木の本数=間の数です。
それぞれの例題について、解き方にある図を参照してください。

<今回のポイント>

 基本的な植木算の問題をしっかり解けるようにしましょう。そのうえで、例題4や例題5のように、間の数が何を意味しているかを読み取ることが大切です。

【対策ポイント1】

 植木算の基本を学習します。

[例題1]

 木と木の間の長さを求める問題です。両はしの木が90mはなれていて、全部で10本の木が植えてあるとき、木と木の間は何mはなれているかを考えます。木と木の間は、10-1=9か所です。よって、90÷9=10 より、10mの間かくです。

[例題2]

 両はしには木が植えてない場合の、木の本数を求める問題です。600mはなれた2つのバス停の間に、25mおきに植えてある木の本数を求めます。600÷25=24 より、間の数は24か所です。両はしには、木を植えてありませんので、木の本数=間の数-1 となりますので、24-1=23 より、木の本数は、23本です。

[例題3]

 池のまわりに木を植える問題です。5m間かくで、16本の木を植えるときの池のまわりの長さを求めます。木の本数=間の数 ですから、間は16か所です。よって、5×16=80 より、池のまわりの長さは80mです。

【対策ポイント2】

 植木算を応用した問題を学習します。

[例題4]

 間の数を考える問題です。番号のついた電柱が10mおきに立っています。
(1) 13番の電柱を1本目としたとき、20番の電柱は何本目かという問題です。電柱の番号と本数の関係を考えます。たとえば、2本目の電柱の番号は、13+(2-1)=14番で、3本目の電柱の番号は、13+(3-1)=15番です。このように、13に(本数-1)を加えると番号が求められます。この(本数-1)は、植木算では、間の数でした。よって、20-13=7か所ですから、7+1=8 より、20番の電柱は、8本目です。
(2) 50-9=41 より、10mの間が41か所ありますので、10×41=410、よって、9番目
の電柱と50番目の電柱は、410mはなれています。

【対策ポイント3】
[例題5]

 テープをのりしろによって、つなげたときの長さやのりしろの数を考える問題です。長さ8cmのテープを、のりしろをおなじ長さにして10本つなげます。
(1) のりしろの数は、テープの本数より、1つ少なくなります。このことがポイントです。10本のテープをつなげるには、のりしろの数は、10-1=9か所です。のりしろ1か所につき、長さが2cmずつ短くなります。よって、8×10-2×9=62 より、テープ全体の長さは、62cmです。
(2) テープ全体の長さが53cmになりましたので、8×10-53=27 より、のりしろ9か所の合計の長さは27cmです。よって、27÷9=3 より、のりしろ1か所の長さは、3cmです。

 われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

メールマガジン登録は無料です!

頑張っている中学受験生のみなさんが、志望中学に合格することだけを考えて、一通一通、魂を込めて書いています。ぜひご登録ください!メールアドレスの入力のみで無料でご登録頂けます!

ぜひクラスアップを実現してください。応援しています!

ページのトップへ