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算数予想問題
第11回は『数と規則性(3)』です。等差数列、群数列、既約分数、数表などを学習します。
各問題の解法ポイントを、下の解説を読んで理解して下さい。規則性の問題は、その名の通り、簡単な例を自分で書き出して、規則を見つけることです。ぜひ、実践してください。
階差数列の問題です。階差数列とは、前後の2数の差が等差数列になっている数列です。並んでいる数列の差を書き出すと、1，2，3，4，5，…と等差数列になっています。
この数列で、例えば5番目の数である11を、計算で求めてみましょう。
1＋(1＋2＋3＋4)＝11 となります。5番目の数は、1に1から順に(5－1＝)4までの和を加えて求めることがわかります。
マル1（マルの中に数の入った記号は文字化けしますので、このように表記します。)：左から10番目の数は、1＋(1から9までの数の和)＝1＋45＝46 より、46です。
マル2：92－1＝91 より、1から□までの和が91になる□を求めます。1から10までの和は55ですから、その先を順に加えて求めます。13まで加える(1から13までの和)と91となりました。よって、13＋1＝14 より、92は、左からかぞえて14番目の数です。
群数列について学習します。群数列とは、群（組）で数列になっているものをいいます。
分数の群数列の問題です。分数の群数列では、組ごとに、分母の数、組の個数、組ごとの和、などを調べておくと解きやすくなります。なお、分数は、分子/分母 の形で、帯分数は(整数と分子/分母)の形で表します。
第1組は、分母が2の分数で、個数は1個、和は1/2です。第2組は、分母が3の分数で、個数は2個、和は1です。第3組は、分母が4の分数で、個数は3個、和は(1と1/2)です。第4組は、分母が5の分数で、個数は4個、和は2です。以下、続きます。
(1) 分母が13ですから、第12組とわかります。分子の8より、問われている分数は、第12組の8個目です。よって、(1＋2＋…＋10＋11)＋8＝74 より、74番目です。
(2) 1から9までの和は45（9組までの個数）ですから、50－45＝5 より、50番目の数は、第10組の5番目です。よって、第10組の分母は11で、分子は5となりますので、5/11です。
(3) 各組の和を、加えていきます。第1組から順に、各組の和を、すべて分母2の分数で表していくと、1/2＋2/2＋3/2＋4/2＋… で、第9組の和である9/2までの和は、等差数列の和です。これに、第10組の5個である1/11から5/11までの和を加えます。第1組から第9組までの和は、分子の和が1から9までの和である45で、分母が2ですから、45/2、第10組の5個の和は、15/11です。
よって、45/2＋15/11=525/22 より、1番目から50番目までの分数の和は、(23と19/22)です。
前問と同様、群数列の問題です。どこまでを組とするかがポイントです。
3と4の倍数が関係しているので、その最小公倍数である12までを考えますと、1、2、5、7、10、11 となり、その後は、13、14、17、… と続きます。この第1組である、｛1、2、5、7、10、11｝は、整数を12で割ったときのあまりを組にしていることがわかります。その後も同様で、6個1組で、続きます。
(1) 53÷12＝4あまり5 より、53は、(4＋1＝)5組の(あまりの5は)3番目です。よって、6×4＋3＝27より、53は27番目の数です。
(2) 100÷6＝16あまり4 より、(16＋1＝)17組の4番目です。第17組の数は、12で割ったときの商が16で、4番目のあまりは、7ですから、12×16＋7＝199 より、100番目の数は、199です。
三角数の数表問題です。三角数とは、1から順に整数をたした答えを順に並べた数をいいます。1、(1＋2＝)3、(1＋2＋3＝)6、以下、10、15、21、…と続きます。
問題の数表は、左下がりの45度の線上に数が順に並んでいます。そして、各行の1列の数は、この三角数になっています。予習シリーズの解説とは異なった解き方で、三角数を中心に解いてみましょう。仕組みは同じです。
(1) 数の並び方から、1行目・8列目の数は、7行目・1列目の数に1を加えた数です。7行目・1列目の数は、三角数の7番目の数で、1＋2＋……＋7＝(1＋7)×7÷2＝28です。
よって、28＋1＝29 より、1行目・8列目の数は、29です。
(2) 50に近い三角数は、1から9までの和の45があります。50－45＝5 より、9行目・1列にある45の次は、1行目・10列目から並ぶ45度線上で、50は、この45度線上の5つ目です。この5つ目は、10－5＋1＝6 より、6列目となります。
よって、50は、5行目・6列目です。
簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。予習シリーズ143ページの解き方の図(数表)を参照してください。
(3) 三角数の数表では、同じ45度線上の数は、行数と列数の和がすべて同じになっています。予習シリーズの解き方にある、「たとえば、…」を参照してください。このことに注目して解きます。
8行目・5列目は、8＋5－1＝12 より、1行目・12列目から始まる45度線上の8つ目です。結果として、その前（11行目・1列目）にある、三角数の11番目の数66に、8を加えた数となります。
よって、66＋8＝74 より、8行目・5列目の数は、74です。
ここでも、簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。
第12回は『場合の数-組み合わせ方-』です。今回は、「組み合わせ」を学習します。組み合わせとは、選ぶ順番は考えずに、組のメンバーを選ぶ場合の数をいいます。例えば、A、B、C、D、Eの5人の中から2人の組を考えます。並べ方では、順番を考えて、ABとBAは別々に2通りと数えますが、顔ぶれは同じなので、AとBの組み合わせ(選び方)では1通りと数えます。
場合の数は、中学入試に出題される問題では難問が多い内容です。公式的な部分もありますが、どんな条件があるのかを、きちんと読み取ることが重要です。
樹形図による解き方の復習をします。
組み合わせの問題です。赤いボールが3個、白いボールが1個、青いボールが2個の合計6個のボールの中から3個の組み合わせを考えます。同じ色の玉がある場合には注意が必要で、樹形図を利用します。予習シリーズ126ページの解き方にある樹形図を参照して下さい。
樹形図をかく場合、選ぶ色の順番を決めておくことがポイントになります。たとえば、赤－白－青の順に並べることにすると、白の後に赤を並べることはしません。また、青の後に赤や白を並べることはしません。これにより、重複(ちょうふく)をさけることができます。このことを、「Ｕターン禁止」と名付けます。組み合わせを樹形図で考える場合には、このＵターン禁止が重要です。結果、予習シリーズ126ページの樹形図ができますので、答えは、6通りです。
組み合わせの問題を計算で解くことを学習します。
前問と同様に組み合わせの問題ですが、計算で求めます。
(1) A、B、C、D、Eの5人の中から日直の2人を選びます。選ぶ2人を、並び方の規則(積の法則)で計算すると、5×4＝20通りになります。ですが、冒頭で説明しましたように、AとB、BとAのように、顔ぶれとしては同じものが含まれます。つまり、並び方の20通りの中には、選び方としては、2通りずつ同じものが入ります。そこで、20÷2＝10より、2人の日直の選び方は10通りとなります。
この問題のように、選び方(組み合わせ)の計算では公式を作ることができます。全体数N個の中から、A個を選ぶ場合の選び方の計算（簡単に、NのAの組み合わせといいます）は、[NのA]の並び方の計算結果を、[AのA]の並び方の計算結果で割り算します。
例えば、この問題では、[5の2]の並び方の計算結果である、(5×4)を、[2の2]の並び方の計算結果である、(2×1)で割ります。以下のようになります。5の2の組み合わせは、(5×4)÷(2×1)、5の3の組み合わせは、(5×4×3)÷(3×2×1)、6の2の組み合わせは、(6×5)÷(2×1)、6の3の組み合わせは、(6×5×4)÷(3×2×1) となります。
(2) 7人の中からそうじ当番を3人選びます。(7×6×5)÷(3×2×1)＝35 より、そうじ当番の組み合わせは、35通りです。なお、これらの計算は、分数を利用すると、約分ができて計算が素早く正確にできます。
男子6人と女子3人の9人の中から、そうじ当番を4人選びます。上の公式を利用して計算します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
(1) 男子6人の中から4人を選ぶ問題です。6の4の組み合わせ計算で、(6×5×4×3)÷(4×3×2×1)＝(6×5×4×3)/(4×3×2×1)＝15より、15通りです。
この問題で、6人から4人を選ぶということは、2人が残るということですから、この残りの2人の選び方を考えてもよいのです。6の2の組み合わせの問題となります。(6×5)/(2×1)＝15 となり、結果は同じ15通りです。つまり、6の4の組み合わせ計算は、6の(6－4＝)2の組み合わせ計算と同じ結果が得られます。
このことは、よく使われる考え方です。たとえば、「12色の色鉛筆の中から10色の色鉛筆を選びなさい」、といった問題でも、これは、12の(12－10=)2の組み合わせ計算の問題になります。より小さな数の組み合せの問題として解く方が、間違いが起こる可能性を減らすことができます。
(2) 男子6人の中から3人を選び、女子3人の中から1人を選ぶ問題です。これは、男子は6の3の組み合わせ計算、女子は3の1の組み合わせ計算で、この2つの計算結果を積の法則で計算します。男子は、(6×5×4)/(3×2×1)＝20通り。女子は3通りです。男子、女子を同時に選びますので、積の法則により、20×3＝60の60通りです。
直線アの上に4個の点、直線イの上に2個の点があり、これらの6個の点から、3個を選んで結び、三角形を作る問題です。6の3の組み合わせ計算ですので、(6×5×4)/(3×2×1)＝20となるところですが、直線アの上の点のうち、どの3個の点を使っても三角形はできないことに注意が必要です。直線アの上で、4の3の組み合わせはのぞかなければなりません。(4の3の組み合わせ)＝(4の1の組み合わせ)、ですので、4通りあります。よって、20－4＝16 より、三角形は16個できます。
0、1、2、3、4の5枚のカードから3枚を選んで、3けたの3の倍数が何通りできるかを考える問題です。まず、「3の倍数となる数は、各位の数字の和が3の倍数になっている」ことを確認してください。予習シリーズ130ページにある、各倍数の見分け方を覚えましょう。そこで、5枚のカードの中から3枚を選んで、その3枚の数字の和が3となる組み合わせを作ります。なお、3枚のカードの合計は、最大でも2＋3＋4＝9ですから、3の倍数は3、6、9です。3つの数の和が3の倍数となる数の組み合わせは以下の4つ(ア～エ)となります。ア(0、1、2)、イ(0、2、4)、ウ(1、2、3)、エ(2、3、4)、それぞれの並べ方を考えます。
(ア) 百の位→(0をのぞく)2通り、十の位→(百の位においたカード以外)2通り、一の位→(残り)1通りが置けますので、2×2×1＝4通り作ることができます。
(イ) (ア)と同様で、4通り
(ウ)(エ) どちらも条件はありませんので、百の位、十の位、一の位の順に並べ方を考える
と、3×2×1＝6通りずつできます。場合に分けましたので、和の法則を使って、4＋4＋6＋6＝20より、3けたの3の倍数は全部で20通りできます。
試合数の問題です。試合の仕方は、(1)のリーグ戦(総当たり戦)と、(2)のトーナメント戦(勝ち抜き戦)があります。名前を覚えるとともにしっかり区別して下さい。
(1) リーグ戦は、それぞれのチームが他のチームと総当たりで対戦する試合方法です。6チームのうち、2チームずつが対戦しますから、6の2の組み合わせ計算ということになります。よって、(6×5)/(2×1)＝15より、15試合となります。
(2) トーナメント戦は、最後に1チームが優勝しますが、このことは、残りの5チームは各試合で負けるということです。1試合で1チームが負けますので、5チームが負けるということは、5試合ある、ということです。つまり、トーナメント戦では全チーム数から優勝する1チームをのいた数が、試合数となるわけです。答えは5試合です。
第12回は『間の数を考える問題』です。問題の中心は、植木算といわれる問題です。予習シリーズ110ページの説明をよく読みましょう。また、各例題の前の説明も理解しましょう。まとめておきます。植木算は、直線の道や丸い池のまわりにそって木を植える場合の、木の本数と道や池のまわりの長さとの関係を考える問題です。全体の長さは、「1区間（木と木の間）の長さ×区間の数」で求められます。この区間の数と植えた木の本数の関係を整頓しておきます。
(ア) 両はしに木が植えてある場合は、木の本数－1＝間(区間)の数です。
(イ) 両はしには木が植えられない場合は、木の本数＋1＝間の数です。
(ウ) 池のまわりに木を植える場合は、木の本数＝間の数です。
それぞれの例題について、解き方にある図を参照してください。
基本的な植木算の問題をしっかり解けるようにしましょう。そのうえで、例題4や例題5のように、間の数が何を意味しているかを読み取ることが大切です。
植木算の基本を学習します。
木と木の間の長さを求める問題です。両はしの木が90mはなれていて、全部で10本の木が植えてあるとき、木と木の間は何mはなれているかを考えます。木と木の間は、10－1＝9か所です。よって、90÷9＝10 より、10ｍの間かくです。
両はしには木が植えてない場合の、木の本数を求める問題です。600mはなれた2つのバス停の間に、25mおきに植えてある木の本数を求めます。600÷25＝24 より、間の数は24か所です。両はしには、木を植えてありませんので、木の本数＝間の数－1 となりますので、24－1＝23 より、木の本数は、23本です。
池のまわりに木を植える問題です。5m間かくで、16本の木を植えるときの池のまわりの長さを求めます。木の本数＝間の数 ですから、間は16か所です。よって、5×16＝80 より、池のまわりの長さは80mです。
植木算を応用した問題を学習します。
間の数を考える問題です。番号のついた電柱が10mおきに立っています。
(1) 13番の電柱を1本目としたとき、20番の電柱は何本目かという問題です。電柱の番号と本数の関係を考えます。たとえば、2本目の電柱の番号は、13＋(2－1)＝14番で、3本目の電柱の番号は、13＋(3－1)＝15番です。このように、13に(本数－1)を加えると番号が求められます。この（本数－1）は、植木算では、間の数でした。よって、20－13＝7か所ですから、7＋1＝8 より、20番の電柱は、8本目です。
(2) 50－9＝41 より、10mの間が41か所ありますので、10×41＝410、よって、9番目
の電柱と50番目の電柱は、410mはなれています。
テープをのりしろによって、つなげたときの長さやのりしろの数を考える問題です。長さ8cmのテープを、のりしろをおなじ長さにして10本つなげます。
(1) のりしろの数は、テープの本数より、1つ少なくなります。このことがポイントです。10本のテープをつなげるには、のりしろの数は、10－1＝9か所です。のりしろ1か所につき、長さが2cmずつ短くなります。よって、8×10－2×9＝62 より、テープ全体の長さは、62cmです。
(2) テープ全体の長さが53cmになりましたので、8×10－53＝27 より、のりしろ9か所の合計の長さは27cmです。よって、27÷9＝3 より、のりしろ1か所の長さは、3cmです。
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