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算数予想問題
今回より、『早稲アカ・四谷大塚 算数攻略ポイント！』は6年生向けが終了し、5年生、4年生の生徒様方へ向けての内容となります。
6年生の皆様、今までご愛読頂き誠に有難うございました。皆様の志望校合格を祈念しております！
第1回は『比の利用』です。比とは、割合の表し方のひとつです。割合では、もとにする量を1とし、比べる量を小数や分数で表していますが、比では倍数を利用して、どちらも整数になるように表します。例えば、もとにする量を1としたときの比べる量が0.3の場合、もとにする量を10とすることで、比べる量を3と整数で表すことができます。この後の算数では、多くの場面で比を活用します。予習シリーズに出ている説明をよく読み、基礎となる用語や使い方などを、しっかりと学習しましょう。
なお、分数は、分子/分母の形で表示します。
基本となる比の処理が、しっかりできるよう、各内容をトレーニングしましょう。
比の性質全体について学習します。新たな内容のスタートとなる、その基礎ですのでしっかりトレーニングしましょう。例題1の内容をしっかり身につけましょう。
比を簡単にする、連比、比例式の性質、逆比の性質を学習します。予習シリーズ6～７ページの例題解き方に書いてある説明、青線で囲んだ性質を理解して身につけてください。
兄が2900円、弟が2000円持っていて、2人が同じ金額ずつ出し合ってサッカーボールを1個買います。兄と弟の残りの所持金の比が5：2になったとき、買ったサッカーボールの代金を求めます。
ポイントは、「同じ金額を出した」ということです。解き方にある線分図を参照してください。買う前後で、所持金の差は変化しません。ですから、残りの所持金の比である、5：2の差は、はじめの所持金の差である(2900－2000＝)900円です。900÷(5－2)＝300 より、比の1は300円となります。兄の残りの所持金5は、300×5＝1500円ですから、2900－1500＝1400 より、兄は1400円出しました。よって、サッカーボールは、1400×2＝2800 より、2800円です。
遊園地の入園料は、大人6人分と子ども10人分が等しいです。
(1) 入園料を、大人1人A円、子ども1人B円として、整頓すると、A×6＝B×10 と表されますので、「逆比の性質」により、A：B＝1/6：1/10＝5：3、よって、入園料の比は、大人：子ども＝5：3です。
(2) この比を利用して、大人4人と子ども7人では、入園料は、5×4＋3×7＝41 と表されます。これが、2870円ですから、2870÷41＝70 より、比の1は70円です。よって、70×3＝210 より、子ども1人の入園料は、210円です。
AさんとBさんのはじめの所持金は5：9で、Aさんは7割使い、Bさんは、1/3使ったところ、2人の所持金の合計が1500円になりました。Bさんのはじめの所持金を求める問題です。残りの所持金は、Aさんは、5×(1－0.7)＝1.5、Bさんは、9×(1－1/3)＝6になります。1500÷(1.5＋6)＝200 より、比の1は200円です。よって、200×9＝1800 より、Bさんのはじめの所持金は、1800円です。
比の積と商について、学習します。予習シリーズ10ページから例題5の前までの説明をよく読みましょう。比の積と商は、簡単なようでいて、なかなか対応しづらい内容です。
比の積と商の問題です。
(1) 単価(1個の値段)×個数＝代金です。個数の比の数を、そのまま個数として使います。リンゴの代金＝120×4＝480、ミカンの代金＝80×5＝400、よって、480：400＝6：5 より、リンゴとミカンの代金の比は、6：5です。
(2) 代金÷単価＝個数です。代金の比の数を、そのまま代金として使います。リンゴの個数＝5÷120＝1/24、ミカンの個数＝2÷80＝1/40、よって、1/24：1/40＝5/120：3/120＝5：3 より、個数の比は、5：3です。
倍数算について学習します。例題6のように、比が変化する問題です。ですが、ポイントは変化しない数量に注目します。
変化していないものは何かを読み取る問題です。
(1) 兄が弟にカードを10枚あげる、やりとりの問題です。やりとりの前後で、2人の持っているカードの枚数の和は変わりません。そこで、比の数の和が等しくなるように、最小公倍数を利用してそろえます(比の統一)。やりとり前→7：3の和＝10、やりとり後→8：7の和＝15 より、10と15の最小公倍数の30となるように、7：3＝(×3) 21：9、8：7＝(×2) 16：14 とします。兄は21から16への変化は、カードを10枚あげたからですので、10÷(21－16)＝2 より、比の1は2枚となります。よって、2×21＝42 より、兄ははじめ42枚持っていました。
(2) 2人とも2600円使いました。同量の減少は、例題2で学習したように、差は変わりません。そこで、比の数の差が等しくなるように、最小公倍数を利用してそろえます。減少前→11：7の差＝4、減少後→5：2の差＝3 より、4と3の最小公倍数の12となるように、11：7＝(×3) 33：21、5：2＝(×4) 20：8 とします。姉の33から20への変化は、2600円を使ったからですので、2600÷(33－20)＝200 より、比の1は200円です。よって、200×33＝6600 より、姉のはじめの所持金は、6600です。
今後の算数では、図形問題もふくめ、比を多用します。比を自由に使いこなせるよう、学習しておいてください。
第1回は 『小数と分数』です。小数と分数の関係を学習します。また、小数と分数の混じった計算も学習していきます。予習シリーズに書いてある説明をよく読みましょう。なお、小数のかけ算・わり算、分数のたし算・ひき算、かけ算・わり算は学習済みとなっています。
メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。また、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。ご了承ください。
計算が中心となる内容です。トレーニングを数多くこなして、早く慣れましょう。また、例題5は、しっかり理解しましょう。
分数と小数の関係を学習します。
分数から小数へ、小数から分数へなおす問題です。予習シリーズ7ページ、例題1の前の説明をよく読んでください。分数から小数になおす方法は、A/B＝A÷B のしくみを利用します。また、小数から分数になおす場合は、0.1＝1/10、0.01＝1/100、…を利用します。
(1) 1/2＝1÷2＝0.5 です。
(2) (3と12/25)のとき、整数の3はそのままで、12/25＝12÷25＝0.48 より、3＋0.48＝3.48 です。
(3) 0.4は、0.1が4つ集まった数です。0.1＝1/10 より、0.4＝4/10 となりますが、分数は既約分数(きやくぶんすう→これ以上約分できない分数)で答えます。4/10＝2/5 となりますので、0.4＝2/5です。
(4) 1.75は、整数の1はそのままで、0.75は0.01が75こ集まった数です。よって、0.75＝75/100＝3/4ですから、1.75＝1＋3/4 より、(1と3/4)です。
分数と小数が混じった中で、大小関係を答える問題です。分数か小数のどちらかにそろえて、大きさくらべをします。分数では、通分するのに手がかかりますので、分数を小数になおしてくらべましょう。なお、分数を小数にする場合、わり切る必要はありません。大きさくらべができればよいことに注意しましょう。4/5＝4÷5＝0.8、7/9＝7÷9＝0.77…(としておきます。)、0.78 の3つです。よって、小さい方から順にならべますので、7/9、0.78、4/5 です。もとの形で答えることが大切です。注意しましょう。
3つ以上の分数のかけ算・わり算を学習します。
実際の計算を学習します。整数は分母が1の分数とし、帯分数は仮分数になおします。また、わり算は、わる数の逆数をかけますので、すべてかけ算の形で計算ということになります。3つ以上の分数が、すべてかけ算の形になった場面で、約分をします。分子どうし、分母どうしのかけ算をした後で約分するのは、とても大変です。必ず、この場面で約分して、その後、分子どうし、分母どうしをかけて答えを出します。結果については、予習シリーズの解き方を参照してください。
整数・小数・分数の混合計算を学習します。
実際の計算を学習します。基本的には、分数にして計算することをお勧めします。
(1) たし算よりかけ算が先です。かけ算では、0.6＝6/10として、6/10×2/9＝2/15と計算し、2/5＋2/15のたし算をします。結果は、8/15です。
(2) 21÷18÷0.7 の計算も分数を利用して進めます。21÷18 は、21/18 としてもよいし、21/1÷18/1＝21/1×1/18 としてもかまいません。0.7＝7/10 となりますので、÷7/10から×10/7となり、全体では、21/18×10/7 の計算です。結果は、5/3ですので、(1と2/3)となります。予習シリーズの解き方を参照してください。
分数の積を整数にする問題を学習します。約数・倍数を考えて進めます。
8/15をかけても、12/25をかけても1以上の整数になる分数を考え、その中でも最も小さい分数を求めます。求める分数をB/Aと表します。問題より、①B/A×8/15＝整数、②B/A×12/25 となります。
①この式で、Bと15が約分されて、15が1となるのは、Bが15の倍数のときです。また、Aと8が約分されて、Aが1となるのは、Aが8の約数のときです。
②この式で、Bと25が約分されて、25が1となるのは、Bが25の倍数のときです。また、Aと12が約分されて、Aが1となるのは、Aが12の約数のときです。
①と②が同時に成り立つBは、15と25の公倍数で、Aは、8と12の公約数です。また、なるべく小さい分数を考えると、分子はなるべく小さく、分母はなるべく大きくすることになります。まとめますと、分子Bは、15と25の最小公倍数であり、分母Aは、8と12の最大公約数となります。よって、B＝75、A＝4 より、求める分数は、75/4＝(18と3/4) です。
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