No.1223 早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 4・5年生(第6回)

<算数 5年下 第6回>

 第6回は『速さと比』です。速さの基本公式 [速度×時間=距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか1つが一定ならば他の2つの要素は比例または反比例になります。整頓しておきます。
(ア)速度が一定のとき、時間と距離は比例します(時間比と距離比は等しくなります)。
(イ)時間が一定のとき、速度と距離は比例します(速度比と距離比は等しくなります)。
(ウ)距離が一定のとき、速度と時間は反比例します(速度比と時間比は逆比になります)。
 このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。なお、メルマガでは分数は、分子/分母の形で表します。

<今回のポイント>

 3要素のうち、何が一定(不変)かをキチンと読み取りましょう。また、例題6や7のように、比の数値(速度比や時間比)を利用して、新たな数値(距離)を作ることも重要になります。

【対策ポイント1】

 速度・時間・距離の3要素のうちの1つが変わらない場合の解法を学習します。

[例題1]

 速度が変わらない(一定の)問題です。AB間とBC間の距離の比が4:3と与えられています。速度が一定ですから、距離比=時間比となります。距離比4:3より、時間比もAB:BC=4:3となります。AB間を36分で進みましたので、36÷4×3=27より、BC間を27分で歩きます。

[例題2]

 時間が変わらない(一定の)問題です。
(1) 姉が100mを走った時間で、姉が進んだ距離はもちろん100mです。そのとき、妹は100-20=80m進んでいます。時間が一定ですから、距離比=速度比となります。よって、100:80=5:4より、姉と妹の走る速さの比は、5:4です。
(2) 妹が100mを走る時間で、距離比は、姉:妹=5:4ですから、100÷4×5=125より、姉は125mを走れば、妹と同時にゴールすることになります。よって、125-100=25より、姉のスタート地点を、25m後ろに下げればよいことになります。

[例題3]

 (A地点とB地点の間の)距離が変わらない(一定の)問題です。行きと帰りの速度比が1:3です。距離が一定ですから、時間比は、速度比の逆比になります。時間比は、行き:帰り=1/1:1/3=3:1になります。行きと帰りの時間の合計が48分ですから、48÷(3+1)×3=36 より、行きにかかった時間は36分です。

[例題4]

 前問と同様、(家から駅までの)距離が一定の問題です。分速90mの速さで歩くとき(ア)と、分速60mの速さで歩くとき(イ)を考えます。
(1)速度比は、ア:イ=90:60=3:2ですから、家から駅まで一定の距離を進むのにかかる時間比は、ア:イ=1/3:1/2=2:3となります。この時間について、電車の発車時刻の7分前と3分後では、7+3=10分の差となります(ここがポイント)。時間比ア:イ=2:3の差が10分となっていますので、10÷(3-2)×2=20より、アの速さで歩くときにかかる時間は20分です。よって、8時に家を出て、駅まで20分かかり、駅に着いた時刻の7分後が電車の発車時刻になりますので、8時+20分+7分=8時27分が、電車の発車時刻とわかります。
(2) 分速90mで、20分かかりますので、90×20=1800 より、花子さんの家から駅までの道のりは、1800mです。この「予定よりも早く着く、遅れて着く」のパターンの出題はテストでも頻出です。特に時間の差の算出で間違えないように気をつけてください。また、最後の時刻を求める式で、足し忘れがないように注意しましょう。

【対策ポイント2】

 速度・時間・距離の3要素のどれも一定なものがない場合の考え方を学習します。3要素のうち、2要素の比が与えられている場合には、比の積や商を利用して残りの比を求めることができます。

[例題5]

(1) 距離の比と速度(比を利用してもよい)を使って時間比を求める問題です。AB間とBC間の道のりの比は2:1で、AB間は分速60mで歩き、BC間は分速150mで走ります。時間(比)=距離(比)÷速度(比)となりますので、2/60:1/150=5:1 より、歩いた時間と走った時間の比は、5:1です。
(2) 時間の合計は18分ですから、18÷(5+1)=3 より、歩いた時間は、3×5=15分で、走った時間は3分となります。AB間の距離は、60×15=900m、BC間の距離は、150×3=450mとなりますので、900+450=1350 より、A地点からC地点までの道のりは、1350mです。

【対策ポイント3】

 比を利用した、速度に関連したいろいろな問題を考えましょう。

[例題6]

 距離一定の問題です。はると君の歩く速度、走る速度はそれぞれ一定で、家から図書館まで歩いていくと45分、走っていくと20分かかります。
(1) 距離は一定ですから、速度比と時間比は、逆比になります。時間比は、歩き:走り=45:20=9:4ですので、速度比は、歩き:走り=1/9:1/4=4:9となります。歩きの速度を4として、時間は45分かかりますので、家から図書館までの距離を、4×45=180とします。ここがポイントです。27分歩きましたので、歩いた距離は、4×27=108です。残りを走りますので、(180-108)÷9=72÷9=8 より、走った時間は、8分です。
(2) 歩いた時間をA分、走った時間をB分として、整頓すると、4×A+9×B=180、A+B=30となり、つるかめ算で解くことができます。よって、(180-4×30)÷(9-4)=12より、走る時間は12分です。

[例題7]

 比を利用して平均速度を求める問題です。
(1) AB間の距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比になります。時間比は、行き:帰り=1/4:1/12=3:1となります。行きの時速4kmに時間の3をかけて、距離を4×3=12とします。ここがポイントです。平均速度=距離合計÷時間合計ですから、12×2÷(3+1)=6より、平均速度は、時速6kmです。「平均だから(4+12)÷2」とはなりませんので注意してください。
(2) A地点からB地点を通ってC地点まで行きます。AB間は分速32m、BC間は分速80mで歩きます。また、AB間とBC間の道のりの比は2:3です。距離(比)÷速度(比)=時間(比) の関係より、AB間にかかる時間とBC間にかかる時間の比は、AB:BC=2/32:3/80=5:3です。距離合計=32×5+80×3=400で、時間合計=5+3=8となりますので、400÷8=50より、平均速度は、分速50mです。

<算数 4年下 第6回>

 第6回は『割合の表し方』です。たとえば、「10の3倍は30」という文章において、10を「もとにする量」、3倍を「割合」、30を「くらべる量」と決めます。言葉を使って式にすると、(もとにする量)×(割合)=(くらべる量)となります。
 文章を読む場合、「AのBはCです」という形(式にすると、A×B=C)に整頓し直して考えるとよいです。この場合、もとにする量=A、割合=B、くらべる量=Cとなります。特に、「Aの~」と「の」がついた部分がもとにする量となることに注意しましょう。また、問題文の中で、もとにする量、割合、くらべる量がどの値かを正確につかめるように、まずは問題文をよく読んで、割合の文章に慣れることが大事です。予習シリーズ各例題の解き方にある線分図を、理解のための参考にしてください。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表すことにします。

<今回のポイント>

 割合の問題は、小学算数の中心となる分野で、今後の算数の中で、文章題はもちろん、図形問題でも使うことになります。今回の内容をきちんと理解し、また問題文で、何が、(もとにする量)、(割合)、(くらべる量)となるのかを正確に読み取れるようにしましょう。

【対策ポイント1】

 まずは、〇倍を求める問題です。この〇倍の考え方は、割合の考え方と同じです。

[例題1]

 兄の体重が50㎏、弟の体重が20㎏であるときに、体重を比べる問題です。
(1) 弟の体重をもとにして、兄の体重をくらべます。20×□=50 となりますので、□=50÷20=2.5 より、兄の体重は、弟の体重の2.5倍です。
(2) 兄の体重をもとにして、弟の体重をくらべます。50×□=20 となりますので、□=20÷50=0.4 より、弟の体重は、兄の体重の0.4倍です。

【対策ポイント2】

 割合について学習します。

[例題2]

 割合の第1用法となる問題です。はじめに説明しましたように、(もとにする量)×(割合)=(くらべる量)ですから、ここでは、(割合)=(くらべる量)÷(もとにする量)を計算します。
(1) 定員の300人が「もとにする量」、乗客の360人が「くらべる量」です。360÷300=1.2より、割合は1.2(倍) です。
(2) 全体の人数45人が「もとにする量」、男子の25人が「くらべる量」です。25÷45=5/9より、割合は5/9(倍) です。
以上のように、割合を表す数は、整数、分数、小数のいずれでもかまいません。ただし、分数の場合は約分を忘れないようにしましょう。

[例題3]

 割合の第2用法となる問題です。(くらべる量)=(もとにする量)÷(割合)を計算します。
(1) 「昨年のねだんの1.6倍は今年のねだん」と読み直せますので、(もとにする量)=昨年のねだん、(割合)=1.6、(くらべる量)=今年のねだん です。今年のねだんを□円として式にすると、750×1.6=□となります。□=1200ですから、今年のねだんは1200円です。
(2) 「太郎君の年令はお父さんの年令の2/7です。」を「お父さんの年令の2/7は太郎君の年令です。」と読み直すと、(もとにする量)=お父さんの年令、(割合)=2/7、(くらべる量)=太郎君の年令となります。太郎君の年令を□才として式にすると、42×2/7=□となります。□=12ですから、太郎君の年令は12才です。

[例題4]

 割合の第3用法となる問題です。(もとにする量)=(くらべる量)÷(割合)を計算します。
(1) 「クラス全体の人数の2/9が(欠席した)8人」ということになりますので、(もとにする量)=クラス全体の人数、(割合)=2/9、(くらべる量)=8となります。クラス全体の人数を□人として式にすると、□×2/9=8と整頓できます。逆算して、□=8÷2/9=36より、クラスの人数は36人です。
(2) 所持金の残り300円が、はじめの所持金のどのくらいかを考えるところからはじめます。はじめの所持金を1として、本を買うのに5/7を使いましたので、残りは、1-5/7=2/7 です。これが、300円に対する割合になります。(もとにする量)=はじめの所持金、(割合)=2/7、(くらべる量)=残りの300円となります。はじめの所持金を□円として式にすると、□×2/7=300 と整頓できます。逆算して、□=300÷2/7=1050 より、はじめの所持金は1050円です。

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