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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第6回は『速さと比』です。速さの基本公式 [速度×時間＝距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか１つが一定ならば他の2つの要素は比例または反比例になります。整頓しておきます。
(ア)速度が一定のとき、時間と距離は比例します（時間比と距離比は等しくなります）。
(イ)時間が一定のとき、速度と距離は比例します（速度比と距離比は等しくなります）。
(ウ)距離が一定のとき、速度と時間は反比例します（速度比と時間比は逆比になります）。
このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。なお、メルマガでは分数は、分子/分母の形で表します。
3要素のうち、何が一定(不変)かをキチンと読み取りましょう。また、例題6や7のように、比の数値(速度比や時間比)を利用して、新たな数値(距離)を作ることも重要になります。
速度・時間・距離の3要素のうちの1つが変わらない場合の解法を学習します。
速度が変わらない（一定の）問題です。AB間とBC間の距離の比が4：3と与えられています。速度が一定ですから、距離比＝時間比となります。距離比4：3より、時間比もAB：BC＝4：3となります。AB間を36分で進みましたので、36÷4×3＝27より、BC間を27分で歩きます。
時間が変わらない（一定の）問題です。
(1) 姉が100mを走った時間で、姉が進んだ距離はもちろん100mです。そのとき、妹は100－20＝80m進んでいます。時間が一定ですから、距離比＝速度比となります。よって、100：80＝5：4より、姉と妹の走る速さの比は、5：4です。
(2) 妹が100mを走る時間で、距離比は、姉：妹＝5：4ですから、100÷4×5＝125より、姉は125mを走れば、妹と同時にゴールすることになります。よって、125－100＝25より、姉のスタート地点を、25m後ろに下げればよいことになります。
（A地点とB地点の間の）距離が変わらない（一定の）問題です。行きと帰りの速度比が1：3です。距離が一定ですから、時間比は、速度比の逆比になります。時間比は、行き：帰り＝1/1：1/3＝3：1になります。行きと帰りの時間の合計が48分ですから、48÷(3＋1)×3＝36 より、行きにかかった時間は36分です。
前問と同様、（家から駅までの）距離が一定の問題です。分速90mの速さで歩くとき(ア)と、分速60mの速さで歩くとき(イ)を考えます。
(1）速度比は、ア：イ＝90：60＝3：2ですから、家から駅まで一定の距離を進むのにかかる時間比は、ア：イ＝1/3：1/2＝2：3となります。この時間について、電車の発車時刻の7分前と3分後では、7＋3＝10分の差となります（ここがポイント）。時間比ア：イ＝2：3の差が10分となっていますので、10÷(3－2)×2＝20より、アの速さで歩くときにかかる時間は20分です。よって、8時に家を出て、駅まで20分かかり、駅に着いた時刻の7分後が電車の発車時刻になりますので、8時＋20分＋7分＝8時27分が、電車の発車時刻とわかります。
(2) 分速90mで、20分かかりますので、90×20＝1800 より、花子さんの家から駅までの道のりは、1800mです。この「予定よりも早く着く、遅れて着く」のパターンの出題はテストでも頻出です。特に時間の差の算出で間違えないように気をつけてください。また、最後の時刻を求める式で、足し忘れがないように注意しましょう。
速度・時間・距離の3要素のどれも一定なものがない場合の考え方を学習します。3要素のうち、2要素の比が与えられている場合には、比の積や商を利用して残りの比を求めることができます。
(1) 距離の比と速度（比を利用してもよい）を使って時間比を求める問題です。AB間とBC間の道のりの比は2：1で、AB間は分速60mで歩き、BC間は分速150mで走ります。時間(比)＝距離(比)÷速度(比)となりますので、2/60：1/150＝5：1 より、歩いた時間と走った時間の比は、5：1です。
(2) 時間の合計は18分ですから、18÷(5＋1)＝3 より、歩いた時間は、3×5＝15分で、走った時間は3分となります。AB間の距離は、60×15＝900m、BC間の距離は、150×3＝450mとなりますので、900＋450＝1350 より、A地点からC地点までの道のりは、1350mです。
比を利用した、速度に関連したいろいろな問題を考えましょう。
距離一定の問題です。はると君の歩く速度、走る速度はそれぞれ一定で、家から図書館まで歩いていくと45分、走っていくと20分かかります。
(1) 距離は一定ですから、速度比と時間比は、逆比になります。時間比は、歩き：走り＝45：20＝9：4ですので、速度比は、歩き：走り＝1/9：1/4＝4：9となります。歩きの速度を4として、時間は45分かかりますので、家から図書館までの距離を、4×45＝180とします。ここがポイントです。27分歩きましたので、歩いた距離は、4×27＝108です。残りを走りますので、(180－108)÷9＝72÷9＝8 より、走った時間は、8分です。
(2) 歩いた時間をA分、走った時間をB分として、整頓すると、4×A＋9×B＝180、A＋B＝30となり、つるかめ算で解くことができます。よって、(180－4×30)÷(9－4)＝12より、走る時間は12分です。
比を利用して平均速度を求める問題です。
(1) AB間の距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比になります。時間比は、行き：帰り＝1/4：1/12＝3：1となります。行きの時速4kmに時間の3をかけて、距離を4×3＝12とします。ここがポイントです。平均速度＝距離合計÷時間合計ですから、12×2÷(3＋1)＝6より、平均速度は、時速6kmです。「平均だから(4＋12)÷2」とはなりませんので注意してください。
(2) A地点からB地点を通ってC地点まで行きます。AB間は分速32m、BC間は分速80mで歩きます。また、AB間とBC間の道のりの比は2：3です。距離(比)÷速度(比)＝時間(比) の関係より、AB間にかかる時間とBC間にかかる時間の比は、AB：BC＝2/32：3/80＝5：3です。距離合計＝32×5＋80×3＝400で、時間合計＝5＋3＝8となりますので、400÷8＝50より、平均速度は、分速50mです。
第6回は『割合の表し方』です。たとえば、「10の3倍は30」という文章において、10を「もとにする量」、3倍を「割合」、30を「くらべる量」と決めます。言葉を使って式にすると、(もとにする量)×(割合)＝(くらべる量)となります。
文章を読む場合、「AのBはCです」という形（式にすると、A×B＝C）に整頓し直して考えるとよいです。この場合、もとにする量＝A、割合＝B、くらべる量＝Cとなります。特に、「Aの～」と「の」がついた部分がもとにする量となることに注意しましょう。また、問題文の中で、もとにする量、割合、くらべる量がどの値かを正確につかめるように、まずは問題文をよく読んで、割合の文章に慣れることが大事です。予習シリーズ各例題の解き方にある線分図を、理解のための参考にしてください。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表すことにします。
割合の問題は、小学算数の中心となる分野で、今後の算数の中で、文章題はもちろん、図形問題でも使うことになります。今回の内容をきちんと理解し、また問題文で、何が、(もとにする量)、(割合)、(くらべる量)となるのかを正確に読み取れるようにしましょう。
まずは、〇倍を求める問題です。この〇倍の考え方は、割合の考え方と同じです。
兄の体重が50㎏、弟の体重が20㎏であるときに、体重を比べる問題です。
(1) 弟の体重をもとにして、兄の体重をくらべます。20×□＝50 となりますので、□＝50÷20＝2.5 より、兄の体重は、弟の体重の2.5倍です。
(2) 兄の体重をもとにして、弟の体重をくらべます。50×□＝20 となりますので、□＝20÷50＝0.4 より、弟の体重は、兄の体重の0.4倍です。
割合について学習します。
[例題2]
割合の第1用法となる問題です。はじめに説明しましたように、(もとにする量)×(割合)＝(くらべる量)ですから、ここでは、(割合)＝(くらべる量)÷(もとにする量)を計算します。
(1) 定員の300人が「もとにする量」、乗客の360人が「くらべる量」です。360÷300＝1.2より、割合は1.2(倍) です。
(2) 全体の人数45人が「もとにする量」、男子の25人が「くらべる量」です。25÷45＝5/9より、割合は5/9(倍) です。
以上のように、割合を表す数は、整数、分数、小数のいずれでもかまいません。ただし、分数の場合は約分を忘れないようにしましょう。
割合の第2用法となる問題です。(くらべる量)＝(もとにする量)÷(割合)を計算します。
(1) 「昨年のねだんの1.6倍は今年のねだん」と読み直せますので、(もとにする量)＝昨年のねだん、(割合)＝1.6、(くらべる量)＝今年のねだん です。今年のねだんを□円として式にすると、750×1.6＝□となります。□＝1200ですから、今年のねだんは1200円です。
(2) 「太郎君の年令はお父さんの年令の2/7です。」を「お父さんの年令の2/7は太郎君の年令です。」と読み直すと、(もとにする量)＝お父さんの年令、(割合)＝2/7、(くらべる量)＝太郎君の年令となります。太郎君の年令を□才として式にすると、42×2/7＝□となります。□＝12ですから、太郎君の年令は12才です。
割合の第3用法となる問題です。(もとにする量)＝(くらべる量)÷(割合)を計算します。
(1) 「クラス全体の人数の2/9が(欠席した)8人」ということになりますので、(もとにする量)＝クラス全体の人数、(割合)＝2/9、(くらべる量)＝8となります。クラス全体の人数を□人として式にすると、□×2/9＝8と整頓できます。逆算して、□＝8÷2/9＝36より、クラスの人数は36人です。
(2) 所持金の残り300円が、はじめの所持金のどのくらいかを考えるところからはじめます。はじめの所持金を1として、本を買うのに5/7を使いましたので、残りは、1－5/7＝2/7 です。これが、300円に対する割合になります。(もとにする量)＝はじめの所持金、(割合)＝2/7、(くらべる量)＝残りの300円となります。はじめの所持金を□円として式にすると、□×2/7＝300 と整頓できます。逆算して、□＝300÷2/7＝1050 より、はじめの所持金は1050円です。
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