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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第11回は『仕事算』です。仕事算は、大きく2通りあります。1つ目は、ある仕事の全体量を1として各人の仕事量を比で表して考える問題（例題2、3）。2つ目は、各人の仕事量を1として全体の仕事量を表して考える問題（例題4）です。また、全体量が増加しつつ、減少していく問題（ニュートン算）も学習します。なお、メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表します。
仕事算は、ある程度パターン的な問題ですので、例題をしっかり理解して、解けるよう学習しましょう。ニュートン算は、例題の順にレベルが上がっています。順番に確実な理解を心がけて進めましょう。
実際の仕事量がわかっている問題です。ここで、仕事算の仕組みを学習します。
Aは、30÷3＝10 より、1時間に10個の荷物を運びます。
Bは、32÷4＝8 より、1時間に8個の荷物を運びます。
2人で運びますから、1時間に10＋8＝18個の荷物を運ぶことができますので、90÷18＝5 より、5時間かかります。
仕事算の基本的な解法の流れは、次のようになります。まず、仕事の全体量を1として、比を利用して各人の1日の仕事量を求めます。次に、この比を利用して、仕事の全体量を新たに作る、というものです。
基本的な仕事算です。まず、仕事の全体量を1とします。A 1人で20日かけてこの仕事をしますので、Aは1日で、1÷20＝1/20の仕事をします(1日の仕事量)。同様に、B 1人で30日かけてこの仕事をしますので、Bの1日の仕事量は，1÷30＝1/30です。このことから、1日あたりの仕事量の比は、A：B＝1/20：1/30＝3：2となります。
この比の数値を利用して、仕事の全体量を作り直します。A 1人で20日かかるので、仕事の全体量は新たに、3×20日＝60となります (当然にBでも2×30日＝60) 。ここまでが準備です。
(1) AとBの2人がいっしょに仕事をすると、1日に3＋2＝5の仕事ができます。よって、60÷5＝12より、2人ですると、仕事を終えるまでに12日かかります。
(2) はじめに、Aが8日しますので、3×8＝24の仕事量が終わりました。残りの仕事量は60－24＝36で、これをBは、36÷2＝18より、18日間かかります。
前問と同様の問題です。準備として、1日の仕事量の比 A：(A＋B)＝1/24：1/15＝5：8より、1日の仕事量をAが5とすると、Bは8－5＝3、そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、5×24＝120となります。
(1) 120÷3＝40より、Bが1人でこの仕事をすると40日かかります。
(2) Aがa日間仕事をすると、5×aの仕事量、Bがb日間仕事をすると、3×bの仕事量、2人合わせて、a＋b＝28日間で、5×a＋3×b＝120の仕事をすることになります。日数(かける数量)の合計が与えられ、仕事量(積＝かけ算の答え)の合計が与えられていますから、つるかめ算を使って解くことができます。Bが28日間仕事をしたことにすると、3×28＝84の仕事ができます。差である、120－84＝36は、Bより1日に、5－3＝2ずつ多く仕事ができるAがしたことで終了しました。よって、36÷2＝18より、Aは18日仕事をしたことになります。
(3) Aが8日休まなかったことにすると、120＋5×8＝160の仕事をすることになります。この仕事量を、2人ですることに考えます。160÷8＝20 より、20日です。この仕事を休む人が含まれるパターンの出題はテストで頻出ですので、解き方をしっかり理解しておきましょう。
仕事の最小単位（基本的には、1人が1日にする仕事量）を1として、これをもとに、全体の仕事量（のべ量といいます）を表して考える問題を学習します。のべ算(帰一算ともいいます)を学習します。。
のべ算の問題です。1人が1日にする仕事量を1とすると、12人が5日間でする仕事量は、1×12×5＝60です。
(1) この仕事を15人でしますから、60÷(1×15)＝4より、4日かかります。なお、はじめの設定である、1人1日の仕事量の1は、省略してもかまいません。つまり、人数×日数を全仕事量としてもよいです。
(2) 残りの仕事をする人数を□人とすると、4×3＋□×8＝60 となりますので、逆算して、□＝(60－4×3)÷8＝48÷8＝6 より、残りの仕事は6人ですればよいことになります。
ニュートン算を学習します。増加する量と減少する量が同時におこる問題をニュートン算といいます。
増加(わき出す水)する量があるとともに、減少(ポンプでくみ出す)する量がある問題で、ニュートン算です。予習シリーズ126ページの解き方にある説明図を参照してください。
ニュートン算は、「(減少量－増加量)×時間＝はじめの量」の形に整頓すると、考えやすくなります。なお、ここの減少量・増加量は時間単位1あたりの量を表します。
問題の300Ｌがはじめの量、毎分5Ｌのわき出す水が増加量、ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量が減少量となります。
(1) ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量を□Lとして整頓すると、(□－5)×30分＝300Lとなりますので、逆算をして、300÷30＋5＝15より、ポンプ1台がくみ出す量は、毎分15Lです。
(2) ポンプ2台でくみ出す時間を□分として整頓すると、(15×2－5)×□分＝300Lとなります。逆算をして、300÷25＝12より、泉は12分で空(から)になります。
泉にたまっている量(はじめの量)と、わき出す水の量(増加量)が不明のニュートン算です。 増加量を毎分□Lとして、整頓すると、はじめの量＝(8－□)×70＝560－□×70、はじめの量＝(12－□)×42＝504－□×42となります。
(1) はじめの量は同じですので、560－□×70＝504－□×42 です。560と504の差は、□×70と□×42の差です。560－504＝□×70－□×42＝□×(70－42) となり、□＝56÷28＝2 より、わき出す水は、毎分2Lです。
(2) はじめの量を表す式の□に2を入れて計算すると、(8－2)×70＝420 より、はじめ、泉にたまっていた水は420Lです。
入場開始時の行列の人数(はじめの量)と、入場口1か所で通過する人数(減少量)が不明のニュートン算です。(1か所の)減少量を○の数で表す（マルイチ計算）を利用して解いてみましょう。なお、○の中に数を入れた表示が文字化けする場合がありますので、ここでは、○1や○2…として進めます。
入場口2か所のとき、はじめの量＝(○2－10)×14＝○28－140
入場口3か所のとき、はじめの量＝(○3－10)×8＝○24－80
(1) ○28－140＝○24－80 となります。○＝(140－80)÷(28－24)＝60÷4＝15 より、入場口1か所から毎分15人の割合で入場します。
(2) (15×2－10)×14＝20×14＝280 より、入場開始時には、280人の行列ができていました。
ここでは、線分図を使わずに説明しましたが、ニュートン算では、線分図で内容を整頓するかどうかで、理解のしやすさが圧倒的に変わってきます。予習シリーズの図を参照して、自分でも図をかくようにしましょう。
第11回は『角柱と円柱』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱などの立体について、学習します。用語、公式をきちんと覚え、使えるようにしましょう。
公式の使用が中心ですので、きちんと覚えて、あとはトレーニングです。加えて、3.14の計算も工夫が必要です。また、展開図から立体を考えることにもなれていきましょう。
角柱・円柱の性質を学習します。予習シリーズ100ページの説明をよく読みましょう。
角柱の面、辺、頂点の数を考えます。底面の図形をN角形としたN角柱を考えて、まとめておきます。
面の数は、上底面と下底面および、側面がN面ありますので、面の数は、(N+2)面です。辺の数は、底面のN角形の辺の数はN本で、これが上底面、下底面2つにあり、また、この上下2つのN角形の角を結ぶ直線(高さにあたります)がN本ありますので、合計して、辺の数は、(N×3)本です。頂点の数は、上底面、下底面のN角形にN個ずつありますので、合計して、頂点の数は、(N×2)個です。
(1) 上にまとめたように、五(5)角柱では、面の数は、5＋2＝7つ、辺の数は、5×3＝15本、頂点の数は、5×2＝10個です。
(2) 24÷3＝8 より、八角柱です。
角柱・円柱の体積と表面積について、学習します。予習シリーズ101ページから103ページまでの内容をきちんと読み、用語もふくめて公式を覚えましょう。
角柱の体積と表面積を求める問題です。
(1) 底面が台形(四角形)である、四角柱の体積を求めます。使う公式は [体積＝底面積×高さ]です。底面である台形の面積は、(4＋7)×4÷2＝22平方cm、よって、高さの6cmをかけて、22×6＝132 より、体積は、132立方cmです。
(2) 同じ四角柱の表面積を求めます。使う公式は [表面積＝底面積×2＋側面積] 、[側面積＝底面のまわりの長さ×高さ]です。底面積×2＝22×2＝44平方cm、側面積＝(4＋4＋5＋7)×6＝120平方cm、よって、44＋120＝164 より、表面積は、164平方cmです。
円柱の体積と表面積を求める問題です。公式は、角柱の場合とまったく同じです。
(1) 体積を求めます。底面は半径4cmの円ですから、面積は、4×4×3.14＝16×3.14平方cm、よって、高さの5cmをかけて、16×3.14×5＝80×3.14＝251.2 より、体積は、251.2立方cmです。
(2) 表面積を求めます。底面積×2＝16×3.14×2＝32×3.14平方cm、側面積＝円周×5＝4×2×3.14×5＝40×3.14平方cm、よって、(32＋40)×3.14＝72×3.14＝226.08 より、表面積は、226.08平方cmです。
この問題での計算に注意してください。円に関係する数量、つまり円周率3.14のかけ算が入る計算では、3.14の計算はまとめて最後に計算するよう、心がけましょう。計算ミスをふせぐことができます。
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