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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第2回は『数と規則性(1)』です。復習テーマは、植木算、周期算、等差数列その他の数列、数表などです。新出テーマは、日付の和、うるう年問題、増え方の規則です。
日付の和を取り上げます。平均を利用した解法を説明しますので、よく理解してください。また、様々な考え方を経験してください。
日付の問題です。まず、基本を押さえましょう。予習シリーズの解き方にある線分図を利用して説明します。
同じ曜日は、その月により、4回のときと5回のときがあります。どちらにしても、同じ曜日の日付は、7日ずつ増えていきます。第1週の日付をA日とすると、日付は、2週目が(A＋7)日、3週目が(A＋14)日、4週目が(A＋21)日、5週目が(A＋28)日となります。4週ある月では、A×4＋(7＋14＋21)＝(A×4＋42)日、5週ある月では、A×5＋(42＋28)＝(A×5＋70)日です。つまり、問題文の日数が、70日を越えているときは、5週ある月の問題となります。
長い説明になりましたが、ここはポイントになります。
平均の利用ですが、同じ数ずつ増えている数の和（等差数列など）では、平均はその数列の真ん中の数を表します。これを利用すると、真ん中の週の日付を求めることができます。
本問で利用してみます。まず、58日は、58＜70より、4週と判断できます。そこで、58÷4＝14.5 で、わり切れません。これは、2週目の日付と3週目の日付の真ん中の意味です。そこで、1週間の7日を2でわった、3.5日を引く、つまり14.5－3.5＝11が2週目の日付になります。よって、11－7＝4 より、この月の第1週金曜日は、3月4日です。なお、5でわって、わり切れるときは、その商が、真ん中である3週目の日付になります。
慣れると、早く解けるようになります。トライしてみてください。
増え方の規則に取り組みます。
交点の数と分けられる数、について考えてみましょう。規則を考える問題は、手作業といいますか、ある程度書き出して決まりを見つける問題です。
(1) 直線の本数、交点の個数、分けられた内部の個数について、調べます。
直線の本数→ 1本、2本、3本、 4本、
交点の個数→ 0個、1個、3個、 6個、
内部の個数→ 2個、4個、7個、11個、
直線3本までは、問題にあり、直線4本を自分で調べます(予習シリーズの解き方に考え方もありますが)。書き出したところで、規則性を考えます。
交点の個数＝1つ前の交点の個数＋そのときの直線の本数
内部の個数＝1つ前の内部の個数＋次の直線の本数
の規則が見つかります。直線を4本引くと、交点の個数は6個できます。また、円の内部は11個に分けられます。
(2) 交点の個数は、0個、(0＋1＝)1個、(1＋2＝)3個、(3＋3＝) 6個、(6＋4＝)10個、 (10＋5＝)15個、(15＋6＝)21 より、21個です。内部の個数は、2個、(2＋2＝)4個、(4＋3＝)7個、(7＋4＝)11個、(11＋5＝)16個、(16＋6＝)22個、(22＋7＝)29 より、29個に分かれます。
第2回は『いろいろな図形の面積』です。面積公式の確認と復習、および、面積の求め方のくふうを学習します。また、三角形の合同という内容にもふれます。
面積計算では、今回の内容は重要です。各問題における工夫をしっかり身につけましょう。例題1、2については、公式の使い方をしっかり復習してください。
面積の求め方のくふうを考えます。
底辺、高さの不明な三角形の面積を求めます。予習シリーズ21ページの解き方にある図を参照してください。
解き方の図にあるABを底辺と考えます。長さは、14－3＝11cmです。このABにより、三角形をアとイに分けて面積を求めます。ところが、それぞれの高さが不明です。ここで、アの三角形の高さを〇とし、イの三角形の高さを△として、面積を考えますと、ア＝11×〇÷2、イ＝11×△÷2となりますので、分配法則を利用して、ア＋イ＝11×(〇＋△)÷2とまとめられます。この〇＋△は、長方形のたてである10cmですから、ア＋イ＝11×10÷2＝55より、三角形の面積は、55平方cmです。
この考えをまとめると、予習シリーズ21ページにある青のわくの内容になります。ぜひ、使えるようにしましょう。
正方形の対角線を利用して、面積を求めます。
(1) 20cmの対角線が与えられた正方形の面積を求めます。正方形は、ひし形でもありますので、「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」により、20×20÷2＝200 より、この正方形の面積は、200平方cmです。
(2) 四分円の面積を求めます。「四分円の面積＝半径×半径×円周率÷4」です。この問題では、半径は正方形の1辺の長さですが、不明です。ここがポイントです。半径が不明でも、半径×半径の値がわかればよいのです。この半径×半径は、言いかえると、1辺×1辺ですから。正方形の面積ということになります。よって、200×3.14÷4＝50×3.14＝157 より、この四分円の面積は、157平方cmです。
三角形の合同について、学習します。予習シリーズ22、23ページの説明、合同条件をよく読み、理解しましょう。
合同を利用して、辺の長さや角の大きさを求めます。問題文より、等しい長さ、角を読み取りましょう。
(1) 三角形ABCは正三角形です。よって、3つの辺は等しい長さで、3つの角は等しい角です。AB＝BC、BD＝CEです。また、角ABD=角BCE＝60度です。ですから、三角形の合同条件の2番目に合いますので、三角形ABDと合同な三角形は、三角形BCEです。
(2) (1)の結果、三角形ABDの角BADの大きさは、三角形BCEの角CBEと等しい24度です。三角形の外角の定理により、アの角度は、角BADと角ABDの和となります。角BAD＝24度、角ABD＝60度ですから、24＋60＝84 より、角アの大きさは、84度です。
多少レベルの高い問題に挑戦しましょう。
おうぎ形の中の部分的な面積を求めます。予習シリーズ24ページの解き方にある図を参照してください。
ア＋ウの直角三角形と、イ＋ウの直角三角形は、半径であるAOとOBは等しい長さです。また、直角三角形であることから、直角以外の2つの角はそれぞれ等しい角度です。よって、三角形の合同条件の3番目に合いますので、合同になります。合同な三角形の面積は等しいので、面積(ア＋ウ)＝面積(イ＋ウ)ですから、面積ア＝面積イになります。色のついた部分の面積(イ＋エ)において、イをアにかえて、面積(ア＋エ)を求めればよいことになります。つまり、半径6cm、中心角65度のおうぎ形の面積を求めます。6×6×3.14×65/360＝4×3.14＝12.56 より、求める面積は、12.56平方cmです。
第2回は『計算のきまり』です。たし算・ひき算・かけ算・わり算の4種類の計算をまとめて、四則計算といいます。この四則とカッコ( )が混じった計算において、計算の順序には、きまりがあります。予習シリーズ16ページの説明をよく読んで、このきまりをしっかり覚えてください。
今後の算数の計算上とても重要な内容です。式を書くことで、逆算や計算のくふうが見つかります。途中式を必ず書くよう心がけてください。
四則混合計算です。
41－(19＋5)÷6
スタートは（ ）の中から計算します。（ ）の中は、19＋5＝24です。その結果、41－24÷6となります。この後の計算は、ひき算よりわり算が先ですので、24÷6＝4となります。よって、41－4＝37より、答えは37です。
前問と同様に四則混合計算です。
70÷{27－(9＋4)}
かっこが2つ入っています。内側のかっこ( )を小かっこといい、外側のかっこ{ }を中かっこといいます。計算の順は、小かっこが先です。スタートの計算は、（ ）の中からです。9＋4＝13です。その結果、｛ ｝の中の計算は、27－13＝14です。最後に、70÷14＝5 より、答えは、5です。
逆算の問題です。注意すべきは、ひき算・わり算の逆算で、ひく数・わる数を逆算で求める場合です。例えば、A－□＝Bの逆算は、□＝A－Bとなります。また、A÷□＝Bの逆算は、□＝A÷Bとなります。
逆算は今後のテストで、計算問題で出されるだけでなく、文章題の計算でも使われることがとても多い解法です。特にこの2つの逆算は、実際の中学入試問題でもよく出てくる形です。しっかり身につけてください。
(1) □＋23＝61は、□＝61－23＝38 より、□＝38 です。
(2) 56÷□＝4 は、□＝56÷4＝14 より、□＝14 です。
計算順序を考えた逆算の問題です。
57－□×8＝25
予習シリーズ19ページの解き方の1行目にあるように、計算順序を問題の式の上や下にメモしてすることをお勧めします。□×8を1つのかたまりとして〇で表すと、57－〇＝25と表されますから、〇＝57－25＝32です。よって、□×8＝32となります。逆算をして、□＝32÷8＝4より、□は4です。
計算のくふうの問題です。くふうすることで、計算が早くなります。予習シリーズ19ページの計算法則を身に付けておきましょう。
(1) 83×25×4
25×4 を先に計算すると、25×4＝100 とまとまった数になります。その後、83×100＝8300 より、答えは、100です。楽に早くできました。
(2) 102×7
102＝100＋2 として、(100＋2)×7 を、分配法則を利用して計算します。(100＋2)×7＝100×7＋2×7＝700＋14＝714 より、答えは、714です。
(3) 29×62＋71×62
×62が共通にあるので、分配法則を利用してまとめることができます。(29＋71)×62＝100×62＝6200 より、答えは、6200です。
これらの法則を身に付けておくと、計算が早くなることで、問題を解く時間が節約できますね。
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