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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第13回は『数と規則性(2)』です。復習テーマは、倍数と約数、素因数分解の利用です。新出テーマは、割り算のあまりの性質、単位分数の和です。なお、分数は、分子/分母 の形で表します。
重要問題チェックを解いて、基本内容が理解できているか確認しましょう。その上で、重要問題プラスに進みましょう。基礎の積み重ねから、応用ができるようになりますので、弱点をなくしていくことを心がけてください。また、応用となる問題では、条件の読み取りが重要ですので、アンダーラインをしながら丁寧に問題文を読むように。
複数の整数を、ある整数でわった場合に、同じあまりができる問題を考えます。
3つの整数｛60, 96, 150｝を同じ整数でわって商を整数で求めたとき、どれも同じあまりになった場合のわった整数を求めます。予習シリーズの例題、解き方にある線分図を参照してください。この線分図を自身でかけるようにすることがポイントになります。線分図のルールとして、同じ量はたてにそろえてかきますので、残りの線分の長さはすべて、わる整数(Aとする)の集まった(倍数)です。ですから、それぞれの長さの差もAの倍数です。60と96の差＝36、96と150の差＝54 がともにAの倍数ですから、Aは36と54の公約数ということになります。公約数は、最大公約数の約数ですので、まず、36と54の最大公約数18を求めます。よって、18の約数｛1, 2, 3, 6, 9, 18｝が条件にあてはまりますが、注意が必要です。
これらの数で、3つの整数｛60, 96, 150｝をそれぞれわったときにあまりができなければいけませんので、｛1, 2, 3, 6｝は成り立ちません(わりきれます)。このチェックもポイントです。よって、考えられる、わった整数は、9と18です。
素因数分解を利用して、平方数を作る問題を考えます。
(1) 45×A＝B×B が成り立つような、最小のAとBを求める問題です。45＝3×3×5 ですから、(3×5)×(3×A) になればよいので、A＝5で、その結果、B＝15です。
(2) 360/C＝D×D が成り立つような、最小のCとDを求める問題です。360＝2×2×2×3×3×5 ですから、(2×3)×(2×3)×2×5 より、C＝2×5＝10で、D＝2×3＝6です。
単位分数の和の問題を考えます。単位分数とは、分子が1の分数をいいます。
4/15＝1/A＋1/B が成り立つときの、2つの整数AとBを求める問題です。A＜B としますので、1/A＞1/Bです。A＝Bとして、4/15＝1/A＋1/Aより、1/A＝4/15÷2＝2/15＝1/7.5より、A＝7.5。B＝0 として、4/15＝1/Aより、A＝3.75。Aは、3.75以上、7.5以下ですので、A＝4から、A＝7までの整数で考えていきます。このように、範囲をきめて考えることがポイントになります。
A＝4のとき、1/B＝4/15－1/4＝1/60より、B＝60
A＝5のとき、1/B＝4/15－1/5＝1/15より、B＝15
A＝6のとき、1/B＝4/15－1/6＝1/10より、B＝10
A＝7のとき、1/B＝4/15－1/7＝13/105より、Bはなし
よって、(A、B)＝(4、60)、(5、15)、(6、10) です。
第14回は『水量の変化』です。4年下第17回で学習した内容の復習とその発展です。容器に入っている水について、水量と水の深さ、水量の変化とグラフ、水深の変化とグラフを学習します。直方体の容器に入っている水の体積は、直方体の底面積に(高さとなる)水の深さをかけて求められます。よって、水の体積＝底面積×深さ、を基本に問題を解きます。また、容積とは、容器の体積をいい、容器いっぱいに入った水の体積のことです。
水そうの形とグラフの関係をしっかり理解しましょう。同じ水の体積を、水そうの形を使って表した式とグラフから水の入れ方を使って表した式をつないで考えと解きやすくなります。また、例題4、5もしっかり解けるように学習してください。
底面積の変化と水の深さについて学習します。
グラフの読み取りと容器の形との関係を考える問題です。
(1) グラフから、7分で35cmの深さまで水が入ることが読み取れます。また、この35cmの長さは、容器の形が変わるところまでの長さであることがわかります。この深さまでの容積は、16×15×35で、水の入れ方を毎分□立方cmとすると、□×7＝16×15×35 となりますので、□＝16×15×35÷7＝1200 より、毎分1200立方cm、つまり、毎分1.2Lの割合で水を入れました。
(2) 容器の上の部分にみずがいっぱいに入るのは、グラフより、21－7＝14分です。容器の形は、たて＝16cm、横＝ｘcm、(グラフより)高さ＝56－35＝21cmです。(1)より、この部分について、容器の形＝水の入れ方を式にすると、16×ｘ×21＝1200×14 となります。よって、ｘ＝1200×14÷(16×21) より、ｘ＝50 です。
なお、予習シリーズ151ページ最後の枠に囲まれた部分は、計算についての説明で、重要です。計算は、迅速性と正確性が大切ですので、実践してください。
水量変化のつるかめ算を学習します。
グラフのたて軸は水の深さを表していますので、横軸の時間と深さについて整頓します。下の円柱では、2分で8cmの深さになっていますので、8÷2＝4 より、毎分4cmずつ水が入ります。上の円柱では、10分から16分で、深さが25cmから31cmになっていますので、(31－25)÷(16－10)＝1 より、毎分1cmずつ水が入ります。31cmの深さまでを整頓すると、4cm/分×A分＝Pcm、1cm/分×B分＝Qcm の式ができ、A＋B＝16分で、P＋Q＝31cm となりますので、この形はつるかめ算です。
毎分1cmずつ水が入るとすると、1cm×16分＝16cmとなりますが、実際は31cmですので、毎分4cmに変えると、(31－16)÷(4－1)＝5 より、5分変えればちょうどになります。よって、4cm/分×5分＝20cm より、ｘは20cmです。
仕切りのある容器での、水量変化を学習します。
5L＝5000立方cmより、毎分5000立方cmの割合で水を入れます。
(1) Aの部分に仕切りの高さまで水を入れると、水の体積は、(50×40×ｘ)立方cmで、水の入れ方から水の体積は、(5000×12)立方cmです。よって、50×40×ｘ＝5000×12 より、x＝5000×12÷(50×40)＝30 より、仕切り板の高さxは30cmです。
(2) Bの部分に仕切りの高さまで水を入れると、水の体積は、(50×y×30)立方cmで、水の入れ方から水の体積は、{5000×(30－12)}立方cmです。よって、50×y×30＝5000×18 より、y＝5000×18÷(50×30)＝60 より、yの長さは60cmです。
(3) 容器の仕切り板より上の部分の体積は、50×(40＋60)×(50－30)＝(50×100×20)立方cmで、グラフから、(z－30)分かかることが読み取れます。よって、50×100×20＝5000×(z－30) より、z－30＝50×100×20÷5000＝20、z＝20＋30＝50 より、zは50(分)です。
水量変化とグラフの問題では、ここで使ったように、容器の形から考えられる水の体積)と、水の入れ方から考えられる水の体積を等式でつなぐことで、求める量を解く方法がおすすめです。ぜひ、挑戦してみてください。また、前に述べましたように、これらの計算は分数を使うと効率よく解けます。
容器をかたむける問題を学習します。
予習シリーズ156ページの解き方にある図を参照してください。どの場合も、容器の奥行き(AB)はかわりませんので、正面の水の部分 (解き方の図のかげをつけた部分) の面積を考えることで問題を解くことができます。
(1) (図2)は台形です。この面積が、(図1)の長方形の面積と同じであることがポイントです。(図1)の面積＝9×10＝90平方cm。(x＋12)×10÷2＝90 より、x＝90×2÷10－12＝6 ですので、xは6cmです。
(2) (図2)と(図3)をくらべると、台形の上底が6cmから2cmに減っています。つまり、面積が、(6－2)×10÷2＝20平方cm少なくなっています。この面積に奥行きABをかけた体積が、こぼれた水の140立方cmです。よって、AB＝140÷20＝7 より、辺ABの長さは7cmです。
(3) 294÷7＝42 より、はじめの長方形の面積より42平方cm少なくなって、(90－42＝)48平方cmが、(図4)の三角形の面積です。よって、y＝48÷12＝4 より、yの長さは4cmです。
第14回は『等差数列』です。等差数列とは、ある数に、一定の数を次々に加えたり、一定の数を次々に引いたりして、作られる数の列をいいます。たとえば、5に3を次々に加えてできる、5、8、11、14、…、のような数列が等差数列です。
基本的に、公式およびその逆算が使えるよう、しっかりトレーニングしましょう。等差数列は、その他の数列の問題や、規則性の問題でもよく使われますので、きちんと使えるようにしておきましょう。
等差数列の□番目の数を求める、また、ある数は何番目になっているかを求める問題を考えます。予習シリーズ130ページにある、説明をしっかり理解し、公式を使えるようにしましょう。
等差数列の□番目の数を求める、基本の問題です。
4、7、10、13、16、19、…、の数列は、はじめの数が4で、次々に公差の3を加えてできた数列です。1番目の数から20番目の数までに、間は 20－1＝19か所ありますので、3を19回たすことになります。よって公式の通り、4＋3×19＝61 より、20番目の数は、61です。
例題1の逆問題で、ある数○は、等差数列の何番目にあるかを求める問題です。
5、11、17、23、29、35、…、の数列は、はじめの数が5で，公差は6です。□番目の数である125は、公式より 5＋6×(□－1)＝125と表されます。この式を逆算して求めます。□－1＝(125－5)÷6＝20 □＝20＋1＝21 より、125は21番目です。
等差数列の和を計算することを考えます。予習シリーズ132ページにある、説明をきちんと理解し、公式を使えるようにしましょう。
等差数列の和を考える問題です。等差数列のはじめの数から□番目の数までの和を考えます。
6、10、14、18、22、…、の数列は、はじめの数が6で、公差4の等差数列で、数が25個ならんでいます。これらの数をすべて加えた和を求めます。まず、25番目の数がいくつかを求めます。□番目の数を求める公式により、25番目の数は、6＋4×(25－1)＝102 です。
次に、等差数列の和を求める公式により、(6＋102)×25＝1350 となりますので、これらの数の和は、1350です。
奇数の数列について学習します。予習シリーズ133ページにある、偶数・奇数の仕組みをきちんと読み、奇数の数列について理解して、公式を使えるようにしましょう。134ページにある枠にかこまれた、「奇数の和の公式が成り立つ理由」も理解しましょう。
等差数列のうち、奇数の数列を考え問題です。1から順に奇数をたしていきます。
(1) 13個の奇数をたした和を求めます。公式「□番目までの奇数の和＝□×□」より、13×13＝169です。
(2) 逆問題です。和が400のときの、最後にたした数を求めます。最後の数を□番目とすると、□×□＝400 となりますが、□を求める計算はありませんので、あてはめてさがします。20×20＝400ですので、20番目の数までたしました。この20番目の数は、公式「□番目の奇数＝2×□－1」より、2×20－1＝ 39です。よって、最後にたした数は，39です。
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