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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第2回は『平面図形と比-相似の利用』です。形が同じで、大きさが異なる図形を相似といいます。予習シリーズ18ページの説明をよく読んで理解しましょう。
相似な図形は、中学受験の図形の中でも入試頻出度がとても高い単元です、この回で、基本事項をしっかり理解して進めましょう。
相似の問題では、例題3以降の問題のように、何組かの相似関係にある図形が組み合わさるケースがとても多くあります。まずは平行線をヒントに、相似の関係を見つけられるようにしましょう。また図を自分でかくことで，理解が深まります。
相似な三角形は、平行線を利用して作られることがとても多くあります。代表的なものとして、クロス型とピラミッド型を学習します。予習シリーズ18ページおよび20ページの枠内の説明をよく読み、使えるよう身につけましょう。
相似な図形において、対応する(重なる)辺の長さの比を相似比といいます。また、相似な図形の面積比は、相似比の数を2回ずつかけた数の比になります。
相似な三角形の辺の長さを求める問題です。
(図1) クロス型の相似の問題です。
ABとCDが平行ですから、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形で、相似比は、対応する辺である、ABとCDの長さの比を使って、AB：CD＝6：9＝2：3です。OB：OCも2：3ですから、2：3＝4cm：a cm より、a＝3×4÷2＝6cmです。
(図2) ピラミッド型の相似の問題です。
ABとCDの平行より、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形で、相似比は、OA：OC＝9：(9＋6)＝3：5です(この部分に注意しましょう)。AB：CDも3：5ですから、3：5＝b cm：20cm より、b＝3×20÷5＝12cmです。また、予習シリーズ18ページの枠内にありますように、OA：AC＝OB：BDとなりますので、9：6＝c cm：5cm より、c＝9×5÷6＝7.5cmです。
相似な三角形の面積比の問題です。例題1と同様、三角形OABと三角形OCDは相似な三角形です。
(図1) 相似比OA：OD＝8：6＝4：3 より、面積比は、三角形OAB：三角形ODC＝(4×4)：(3×3)＝16：9です。
(図2) 相似比OB：OD＝6：(6＋3)＝2：3 より、面積比は、三角形OAB：三角形OCD＝(2×2)：(3×3)＝4：9ですので、三角形OAB：台形ACDB＝4：(9－4)＝4：5です。
相似の利用を学習します。＜今回のポイント＞に述べましたように、平行線に注目して、相似な三角形(クロス型やピラミッド型)を発見して、解くトレーニングです。
相似な三角形が何組か入った図形の問題です。
(1) BPとPCを1辺にもつ、相似な関係になっている三角形を見つけます。相似な三角形PABと三角形PDC(クロス型)が見つかりましたか。相似比は、AB：CD＝21：28＝3：4 ですので、BP：PC＝AB：CD＝3：4です。
(2) PQを1辺にもつ三角形と、相似な三角形を見つけます。三角形BPQと三角形BCDのピラミッド型の相似な三角形が見つかります。相似比は、3：(3＋4)＝3：7です。よって、3：7＝PQ：28cm より、PQ＝3×28÷7＝12cmです。
高さの等しい三角形の面積を考える問題を学習します。高さの等しい三角形では、底辺の長さ比は、面積比になります。
平行四辺形ABCDの中の相似な三角形を考えます。
(1) 三角形ABFと三角形EDFはクロス型の相似です。DE：EC＝2：1 より、AB=DC＝2＋1＝3ですので、BF：FD＝AB：DF＝3：2です。
(2) 三角形ABFと三角形AFDは、高さの等しい三角形ですから、面積比＝底辺比となります。(1)より、底辺比である、BF：FD＝3：2 は、三角形ABFと三角形AFDの面積比になりますので、面積比は3：2です。平行四辺形ABCDの面積が40平方cmですから、2等分である三角形ABDの面積は20平方cmです。よって、20÷(3＋2)×3＝12 より、三角形ABFの面積は、12平方cmです。
長方形の中の相似な三角形を考えます。前問と同様ですが、比の統一を考える問題です。
(1) 三角形AHFと三角形CHBはクロス型の相似です。AH：HC＝AF：BCで、AF：BC＝(12－8)：12＝1：3 より、AH：HC＝1：3です。
(2) 三角形ABGと三角形CEGもクロス型の相似で、AG：GC＝AB：EC＝8：(8－4)＝2：1です。ACの長さは、(1)より、AH：HC＝1：3（和 1＋3＝4）であり、AG：GC＝2：1（和 2＋1＝3）です。同じACの長さを4と3の最小公倍数12で統一します。AH：HC＝1：3＝[×3] 3：9、AG：GC＝2：1＝[×4] 8：4として、AH：HG：GC＝3：(8－3)：4＝3：5：4です。予習シリーズ23ページの解き方にある線分図を参照してください。
(3) 三角形BGHは、三角形ABCの一部で、(2)の結果より、三角形BHAと三角形BGHと三角形BCGの面積比は、それぞれの三角形の底辺比AH：HG：GC＝3：5：4と同じです。三角形ABC＝12×8÷2＝48平方cmですから、48÷(3＋5＋4)×5＝20 より、三角形BGHの面積は、20平方cmです。
第2回は『分配とやりとりの問題』です。分配算とは、2つや3つの量の間で、１つの量の○倍，△倍という関係と、合計（和）や差が与えられている場合に、それぞれの実際数量を求める問題です。線分図を書いて、関係を目に見える形にすることが大切になります。予習シリーズのそれぞれの解き方にある線分図を参照してください。なお、文字化けする可能性がありますので、○に数字を入れた表示は、マル1、マル2などのように表します。
分配算では、線分図に整頓することが大切です。複雑な線分図もかけるように、やさしい内容のときに、トレーニングしておきましょう。また、例題5や6のやりとり問題は、今後も出題されます。解けるようにしておきましょう。
分配算について学習します。
基本の問題です。
(1) 600円を、兄が弟の3倍になるように分けます。弟の分をマル1とすると、兄の分はマル3となります。合計(和)の600円をマルの数の和でわると、600÷(3＋1)＝150 より、マル1が150円となります。よって、兄がもらうお金は、150×3＝450 より、450円です。
(2) アメを2つの箱A、Bに分けていれます。Aに入れた個数はBに入れた個数の4倍で、個数の差は18個です。Bに入れた個数をマル1とすると、Aに入れた個数はマル4です。差の18個をマルの数の差でわると、18÷(4－1)＝6 より、マル1は6個です。よって、Aに入れたアメは、6×4＝24 より、24個です。
何倍の関係にはんぱな数が増えていたり、減っていたりしている問題です。予習シリーズ18ページの解き方にある線分図を参照してください。
50cmのリボンを2本に分けたところ、長い方は短い方の2倍よりも8cm長くなりました。短い方の長さをマル1とすると、長い方の長さは(マル2)＋8となり、この和が50です。はんぱな数をなくして考えます。この問題では、短くします。50－8＝42 が、マルの数の合計、2＋1＝3 です。42÷3＝14 より、マル1 つまり、短い方が14cmですから、50－14＝36 より、長い方は、36cmです。
兄と弟の持っているお金から同じ金額ずつ減った場合の問題です。予習シリーズ18ページの解き方にある線分図を参照してください。同じ数量が増えたり、減ったりする場合には、もともとの量の差は変わらないことに注目します。そのためにも、線分図上では増えたり減ったりする同じ量は、図の左端に寄せるようにしましょう。
兄の800円と弟の350円の差は、2人が同じ金額を出し合った後も変わりません。弟の残りの金額をマル1とすると、兄の残りの金額はマル4と表すことができ、その差であるマル3は、もともとの金額の差(800－350＝)450円を表しています。450÷3＝150より、マル1、つまり弟の残りの金額は150円です。弟ははじめに350円もっていましたから、350－150＝200円をプレゼントの代金として出したことになります。
2人が同じ金額を出しましたので、200×2＝400より、プレゼントの代金は、400円です。最後に、数値を2倍することを忘れないようにしてください。
3つの量についての分配算を学習します。基本的には、2つの量と同様ですが、倍の関係や、増加分・減少分が加わって、複雑になります。やはり、線分図に整頓することを心がけましょう。
三角形の角度を考えた分配算の問題です。予習シリーズ19ページの解き方にある線分図を参照してください。
角Aの大きさをマル1とすると、角Bの大きさはマル2と表すことができます。また、角Cの大きさは、角Bの大きさより20度小さいので、(マル2)－20度と表すことができます。ここで、問題文には出ていませんが、「三角形の内角の和は180度」であるという条件が加わります。角A、B、Cの大きさの合計は、(マル1＋マル2＋マル2)－20度＝マル5－20度となり、これが180度です。よって、マル1＝(180＋20)÷5＝40となり、40×2－20＝60 より、角Cは、60度です。
やりとり算を学習します。
やりとり算といわれる問題で、ここでは、3人の間でおはじきのやりとりを行います。やりとりがあっても、3人の持っているおはじきの合計の個数は、いつも変わらないことに注目します。
A、B、Cの3人が、合計48個のおはじきを持っています。AがBに5個わたし、BがCに12個わたしたところ、3人の持っているおはじきの個数がおなじになりました。やりとり後からやりとり前にもどしていきましょう。やりとり後は、3人とも、48÷3＝16個ずつ持っています(ここがポイント)。
Bの個数の増減を考えますと、はじめに□個持っていて、Aから5個もらい、Cへ12個あげたので、□＋5－12＝16 となります。逆算して、□＝16＋12－5＝23 より、はじめ、Bは、23個持っていました。
同じく、やりとりの問題です。予習シリーズ21ページの解き方にある線分図を参照してください。
A、B、Cの3人が持っているビー玉の個数を、それぞれa個、b個、c個として、やりとりの結果をこれらの文字を用いて表してみます。a＝b×4、また、AはBに11個、Cに14個わたしたので、Aは(a－11－14)個、Bは(b＋11)個、Cは(c＋14)個になり、3人の持っているビー玉の個数が等しくなりました。
(1) a－11－14＝b＋11、つまり a－25＝b＋11 より、a＝b＋11＋25＝b＋36 となりますので、はじめに持っているAとBのビー玉の個数の差は、36個です。
(2) a＝b×4 より、b＝(マル1)個、a＝(マル4)個とします。(1)で、(マル4)個と(マル1)個の差は36個とわかりましたので、マル1は、36÷(4－1)＝12 より、Bは、12個持っていました。やりとり後、Bは12＋11＝23個となり、AもCも同じ個数です。やりとり後のCは、(c＋14)個で、23個ですから、c＝23－14＝9 より、Cははじめ、9個のビー玉を持っていました。
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