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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第14回は『総合(第10回～第13回)』です。基本問題において、第10回から第13回までの基本が理解できているか、確認しましょう。
今回のメルマガでは、基本問題、練習問題の中から、押さえておきたい問題を考えてみましょう。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
数と規則性の問題について考えます。
倍数の問題です。
3でわると1あまり、5でわると3あまり、7でわると5あまる整数を考えます。
(1) このような整数(□とします)のうち、最も小さい整数を求めます。書き出して考えてもよいのですが、3つのパターンすべてに共通する考えがあります。あまりに2を加えると、それぞれの倍数になるということです。ここがポイントです。
□÷3＝○あまり1 より、(□＋2)÷3＝●ですから、(□＋2)は3の倍数になります。同様に、(□＋2)÷5＝▲、(□＋2)÷7＝◆ですから、(□＋2)は、3,5,7の公倍数となります。3,5,7の最小公倍数は105ですので、□＝105－2＝103 より、最も小さい整数は、103です。
(2) このような整数のうち、3けたで最も大きい整数を求めます。□＝105×〇－2 ですので、105の倍数で、1000に近い整数を考えます。1000÷105＝9あまり55 より、105×9－2＝943 となり、求める整数は、943です。
立体の問題を考えます。
立体の切断の基本問題を学習します。
1辺の長さが8cmの立方体を、辺の真ん中の点P、Qと頂点Fを通る平面で切断します。
(1) 立方体の体積は、8×8×8＝512立方cmです。また、切断された小さい方の立体の体積は、4×4÷2×8÷3＝(64/3)立方cmです。切断された大きい方の立体の体積は、512－(64/3)＝1472/3立方cmとなりますので、体積比 大立体：小立体＝1472：64＝23：1 です。
別解として、立方体の1辺を2として、比の数値で計算することも可能です。立方体の体積＝2×2×2＝8、小さい方の立体の体積＝1×1÷2×2÷3＝1/3 より、体積比は、立方体：小立体＝8：1/3＝24：1 となりますので、大立体：小立体＝(24－1)＝1＝23：1です。
(2) この小立体は、辺の長さに特徴があります。底面の直角二等辺三角形の等辺を1として、高さが2の三角すいです。この立体の展開図は、高さの長さを1辺とする正方形になります。ここが、ポイントです。よって、8×8＝64 より、小立体の表面積は、64平方cmです。
(3) 予習シリーズ別冊の解答解説82ページにある展開図を参照してください。切断面の面積は、正方形からまわりの3つの三角形をひいて求めますが、割合の計算をすると、切断面の面積は正方形面積の3/8になります。切断面の面積は、8×8×3/8＝24平方cmです。
よって、切断面を底面とする小立体の体積計算は、高さを□cmとして、24×□÷3＝64/3 より、□＝64/3×3÷24＝(2と2/3) より、高さは、(2と2/3)cmです。
食塩水の問題を考えます。
食塩水と同様に考えられる砂糖水の問題です。
(1) 8％の砂糖水Aと24％の砂糖水Bを、重さ3：5の割合で混ぜます。比の数値をそのまま、砂糖水の重さとして計算してかまいませんので、砂糖＝3×0.08＋5×0.24＝1.44、砂糖水＝3＋5＝8 より、1.44÷8×100＝18 より、混ぜてできた砂糖水Dの濃さは、18％です。
(2) 27％の砂糖水Cと、18％の砂糖水Dを混ぜ、水60ｇを蒸発させると、25.2％の砂糖水が300ｇできました。逆に考えるところが、この問題のポイントです。
水60ｇと25.2％の砂糖水300ｇを混ぜると、C、Dを混ぜた濃さになります。
(300×0.252)÷(60＋300)×100＝21％……CとDを混ぜた濃さ
混ぜたCとDの重さの比は、1/(27－21)：1/(21－18)＝1：2で、合計360ｇですから、 360÷(1＋2)＝120 より、C＝120、D＝120×2＝240
よって、Cは120ｇ、Dは240ｇ混ぜました。
第15回は『総合(第11回～第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
水量変化の問題です。
(図1)の見取り図から容積を、(図2)のグラフから水の入れ方を読み取ります。
(1) グラフのxは、容器の下の部分に水がいっぱいになった時間を表しています。また、 この部分の深さは12cmです。容器の下の部分の容積は、(50×30×12)立方cmで、水の入れ方から、毎分6L＝6000立方cmより、x分で、(6000×x)立方cmです。50×30×12＝6000×x より、x＝50×30×12÷6000＝3 ですので、xは3(分)です。
(2) グラフから、容器の上の部分の高さ12cmから42cmまでの容積を考えます。容積は、{50×(30＋y)×(42－12)}立方cmで、水の入れ方から、(15－3＝)12分で、(6000×12)立方cmです。50×(30＋y)×30＝6000×12 より、30＋y＝6000×12÷(50×30)＝48 ですので、y＝48－30＝18、よって、yは18cmです。
なお、かけ算とわり算の混合計算は、分数を使用すると早く計算できます。
速さの問題です。
速さの問題に、植木算が入っています。
(1) 1周目の速さを求めますので、距離と時間を見つけます。
「5番の旗の位置から17番の旗の位置まで走るのに16秒」8mおきの旗の5番目から17番目までは、植木算で、間は17－5＝12か所あります。よって、(8×12)m÷16秒＝6 より、秒速6mです。
(2) 1周の長さを求めます。秒速6mで、2分＝120秒かかりましたので、6×120＝720 より、1周720mです。また、8m間かくで立っている旗の本数を求めます。720÷8＝90 より、間の数は90か所で、池のまわりですから、間の数＝旗の数です。よって、旗は90本立っています。
(3) 「10番の旗の位置から37番の旗の位置まで24秒」より、8×(37－10)÷24＝9ですから、2周目は、秒速9mで、720÷9＝80秒かかりました。平均速度を求めますので、距離の合計÷時間の合計の計算をします。720×2÷(120＋80)＝7.2 より、平均の速さは、秒速7.2mです。
ならべ方の問題です。
｛0、1、2、4、7｝の5枚のカードをならべます。予習シリーズ130ページの「倍数の見分け方」をもう一度、確認して覚えましょう。
(1) 4の倍数は、下2けたが00か4の倍数です。そこで、カード2枚で4の倍数を考えます。(04)、(12)、(20)、(24)、(40)、(72)ができます。このそれぞれの2けたに、残りの3枚から、百の位に1枚のカードをおきます。
(12)、(24)、(72)の場合は、百の位に0は使えませんので、それぞれ2通りあります。
(04)、(20)、(40)の場合は、残りの3枚が使えますので、それぞれ3通りできます。
よって、2通り×3＋3通り×3＝15 より、4の倍数は15通りできます。
(2) 3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数になっています。そこで、カード3枚で和が3の倍数になる組を考えます。
(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)、(1、4、7)ができます。このそれぞれの組で、3けたになるならべ方を考えます。
(0、1、2)、(0、2、4)、(0、2、7)の場合：百の位は0以外の2通り、十の位は百の位
においたカード以外の2通り、一の位は残りの1通り、となりますので、それぞれ2×2×1＝4通り
(1、4、7)の場合：3×2×1＝6通り
よって、4通り×3＋6通り＝18 より、3の倍数は18通りできます。
ぬり分けの問題です。
｛赤、青、黄、緑｝の4色をすべて使って、ア～オの5つの部分をぬり分けます。ぬり分けの問題では、となり合う部分に同じ色は使えません。4色でぬり分けますので、4か所のグループにします。つまり、2か所は同じ色でぬることになります。この2か所は、(アとオ)、(イとエ)、(イとオ)ができます。
よって、4か所のぬり方、4×3×2×1＝24通りが3つできますので、24×3＝72 より、色のぬり方は、ぜんぶで72通りあります。
第15回は『総合(第11回～第14回)』です。基本問題において、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回のメルマガでは、練習問題を考えてみましょう。
総合回は、前4回分の復習および、その応用的な練習になります。算数は、学習した内容を積み重ねて進む教科ですので、この機会を有効に、しっかり復習しましょう。
植木算の問題です。
420mの池のまわりに、10mの間かくで「くい」を立てていったところ、最初に立てたくいと最後に立てたくいの間が80ｍはなれています。
(1) 最初と最後の2本のくいの間80mに10mおきにくいを立てると、80÷10＝8か所の間になりますが、両はしには、すでに立てたくいがありますので、8－1＝7本のくいを新しく立てることになります。
420÷10＝42 より、池のまわりにくいを立てると42本必要になります。ところが、7本たりないのですから、42－7＝35 より、くいは全部で35本あります。
(2) 420÷35＝12 より、くいを12mおきに立てればよいことになります。
三角形や四角形の面積に関する問題です。
(1) 三角形AEDにおいて、底辺AD＝12cm、高さDE＝8－6＝2cmです。よって、12×2÷2＝12 より、三角形AEDの面積は、12平方cmです。
(2) 三角形AGFの面積をア平方cm、三角形GCEの面積をイ平方cm、四角形FGEDの面積をウ平方cmとします。問題文の条件より、ア＝イですので、ア＋ウ＝イ＋ウとなります。
(1)より、三角形AED＝ア＋ウ＝12平方cmですから、三角形CDF＝イ＋ウ＝12平方cmです。また、三角形CDFは、底辺CD＝8cm、高さDFですから、8×DF÷2＝12 より、DF＝12×2÷8＝3cmとなります。
よって、AF＝AD－DF＝12－3＝9 より、x＝9cmです。予習シリーズ別冊「解答解説」36ページにある図を参照してください。
周期を考える問題です。
白い正方形の紙と赤い正方形の紙を交互に重ねて行きます。このとき、白い紙に見えている数の和は、1＋2＋3＝6です。また、赤い紙に見えている数の和は、5＋6＋7＝18です。
(1) 全部で10まいの紙を重ねますから、白、赤それぞれ5まいずつになっています。よって、(6＋18)×5＝120ですが、10まい目の赤は8がかくれませんので、120＋8＝128より、見える数字すべての和は、128です。最後の紙は、右下の数も加えるところが、ポイントです。
(2) 白、赤1まいずつの合計2まいを1組（白、赤それぞれの右下のマスの数を除きます）として考えていきます。610÷(6＋18)＝25あまり10となりますが、これは、白、赤の組が25組あり、あまりの10は最後に4つの数の和が10になる、ということを表しています。
和が10になるのは、1＋2＋3＋4＝10ですから、白の紙とわかります（1まいすべての数字が見えているということです）。ここがポイントです。
よって、2(まい)×25(組)＋1(まい)＝51より、51まいの紙を重ねました（白が26まい、赤が25まい）。
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