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＜算数　5年下　第11回＞

第11回は『速さと比（3）』です。円周上の旅人算、および時計に関する問題を学習します。

【攻略ポイント1】

2人が、円周上を同じ地点から出発して円周上を回るとき、反対方向に進む場合は、出会うまでに動く道のりの和は円周の長さ1つ分になります。また、同じ方向に進む場合は、速度の速い人が、速度の遅い人に追いつくまでに動く道のりの差は円周の長さ1つ分になります。このことは、5年上第19回で学習しました。この内容に比を交えて問題を解いていきます。

「必修例題1」は、兄弟が池のまわりをまわる問題です。1周するのに、兄は20分かかり、弟は30分かかります。1周の道のりは、等しいのですから、速度比と時間比は反比例します。兄と弟の速度比は、1/20：1/30＝3：2です。兄の速度を3として20分で進む道のりは、3×20＝60ですから、この池のまわりの道のりは60となります。

1. 旅人算を考えます。60の道のりを、兄の速度を3、弟の速度を2として、同時に出発して反対方向に進みますから、60÷(3＋2)＝12より、2人がはじめて出会うのは、12分後です。
2. 弟は5分で、2×5＝10の道のりを先へ進んでいます。このへだたりを兄が弟を追いかけます。10÷(3−2)＝10より、兄が弟に追いつくのは、兄が出発してから10分後です。

「必修例題2」は、必修例題1の逆問題です。池のまわりをA君とB君が反対方向に走ると6分ごとに出会い、同じ方向に走ると24分ごとにA君がB君を追いこします。

1. 出会うまでに走る道のりの和と追いつくまでに走る道のりの差は、どちらも池のまわり1周分で等しいです。よって、A君とB君の速度の和と、速度の差の比は、出会いにかかる時間と、追いこしにかかる時間の比の逆比になります。1/6：1/24＝4：1が、速度の和と速度の差の比になります。和差算で、A君の速度は(4＋1)÷2＝2.5、B君の速度は(4−1)÷2＝1.5と考えられますので、2.5：1.5＝5：3より、A君とB君の速度の比は、5：3です。
2. A君の速度を5、B君の速度を3として、出会うまでに走る道のりである、(5＋3)×6分＝48が、池1周の道のりとします。よって、48÷5＝9.6より、A君がこの池のまわりを1周するのにかかる時間は、9.6分です。
3. A君は、9.6分ごとにスタート地点にもどります。また、B君は、48÷3＝16より、16分ごとにスタート地点にもどります。よって、同時にスタート地点にもどるのは、9.6と16の最小公倍数である、48分後です。また、このとき、A君は、48÷9.6＝5より、この池を5周しています。

「必修例題3」は、池のまわりの別の地点から、兄と妹が反対方向に池をまわる問題です。

1. AB間で、2人がはじめて出会った地点をPとすると、兄はPB間を8分で進み、妹は同じPB間を12分で進むことになります。同じ道のりを進む場合の時間比は、8：12＝2：3です。兄はAB間を、12＋8＝20分で進みます。よって、20÷2×3＝30より、妹は、出発してからA地点を通過するのは、30分後です。
2. (反時計回りに進む)兄は、A→B→Cを60分で進みます。A→Bには20分かかっていますので、B→Cは60−20＝40分です。この60分の時間で、(時計回りに進む)妹は、B→A→Cを進みますが、B→Aを30分で進みますので、A→Cには、60−30＝30分かかっています。妹が30分かかる道のりを、兄は、30÷3×2＝20分で進みます。よって、60＋20＝80より、兄はこの池のまわり1周するのに、80分かかります。また、兄が80分かかる道のり(池のまわり1周)を、80÷2×3＝120より、妹は、120分かかります。

【攻略ポイント2】

時計に関する問題を学習します。時計の短針と長針の作る角の大きさと、時刻の関係を時計算といいます。基本的には、円周上の旅人算で、同方向に動く場合の問題と同じ考え方で解き進めます。
基本知識の確認をしておきましょう。時計の文字盤(12から1、2、3、…と続き、12にもどる)の1めもりは、360÷12＝30度です。また、短針は、この30度を1時間＝60分で動きますから、短針の速さは30÷60＝0.5より、分速0.5度です。そして、長針は、1周360度を1時間＝60分で動きますから、長針の速さは360÷60＝6より、分速6度です。なお、時計算では、12のめもりからの角度を道のりとして考えます。ここでは、分数は、分子/分母の形、帯分数は、整数・分子/分母の形で表すこととします。

「必修例題4」は、4時と5時の間で考える時計算です。

1. 4時40分のときの両針(長針と短針)の作る角を考えます。4時ちょうど(正時といいます)のとき、短針は、長針より30×4＝120度先にあります。40分で、長針は、6×40＝240度、12のめもりから進みます。同じ40分で、短針は、4のめもりから0.5×40＝20度進みますが、12のめもりからの角度は、120＋20＝140度です。よって、12からの角度の差が、両針の作る角になりますので、240−140＝100度です。
2. 両針が重なるということは、長針が短針に追いつくということです。4時ちょうどのとき、両針は120度の差(長針が後ろにある)があります。旅人算の追いかける場合があてはまりますので、120÷(6−0.5)＝21・9/11より、重なる時刻は、4時21・9/11分です。
3. 両針の作る角が2度目に直角になる時刻を求めます。1度目に直角になるのは、短針が長針より先にある場合ですが、2度目に直角になるのは、長針が短針より90度先にある場合です。ということは、120度先にあった短針を追いこして、90度先に進むということになります。つまり、長針が短針より、120＋90＝210度多く進む時刻です。よって、210÷(6−0.5)＝38・2/11より、時刻は、4時38・2/11分です。

＜算数　4年下　第11回＞

第11回は『分数(3)』です。分数×整数、分数÷整数、分数×分数、分数÷分数の計算を学習します。計算は、量的トレーニングが大切です。計算の仕方をしっかり、身に付けて、後はトレーニングです。今回は、具体的な計算の説明ではなく、注意点・ポイントとなる点をお話しします。予習シリーズの必修例題にある解き方を参照してください。

【攻略ポイント1】

分数×整数では、かける整数は分数の分子にかける。分数÷整数では、わる整数は分数の分母にかける。ここがポイントです。

「必修例題1」の計算上、注意すべきことを述べます。
帯分数に整数をかけたり、整数でわったりする場合、仮分数に直して計算します。また、分数計算の答えは必ず既約分数(＝これ以上、約分できない分数)です。ですから、約分できる場合、約分は途中でおこないます。分母の部分や分子の部分で、かけ算の形をつくり、この時点で約分をするのです。予習シリーズ83ページの解き方にある式で、(1)であれば12と9を3で割って4と3に、(2)であれば24と15を3で割って8と5にするということを指します。計算の後に約分すると、数が大きくなり約分するのに手間がかかります。

【攻略ポイント2】

分数×分数では、分子どうし、分母どうしをかけ算します。分数÷分数では、わる分数の分母と分子を入れかえた分数(逆数)をかけ算します。予習シリーズ84ページから85ページにある説明を参照してください。

「必修例題2」の計算上の注意は、必修例題1と同様です。(3)では、3つ以上の分数どうしのかけ算・わり算が混ざっていますが、ここでも分子部分、分母部分にかけ算の入った、1つの分数をつくり、この時点で約分をして、答えを出します。

「必修例題3」

計算のくふうを考えます。

1. 分数・小数の混じった計算では、すべて分数にして計算します。小数では、0.25＝1/4、0.5＝1/2、0.75＝3/4、などがよく出てきます。覚えておきましょう。
2. 整数のわり算は、わられる数は分子に、わる数は分母にした分数に直すことができます。よって、かけ算・わり算だけの整数計算では、分数の乗除計算が可能です。分数を利用すると、ひっ算をすることなく、計算が早くなることが多いのでおすすめです。

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