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算数予想問題
第10回は『総合』です。第6回から第9回までの基本が理解できているか、基本問題で確認しましょう。なお、メルマガでは、分数は分子/分母の形で表します。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
速度と比 の問題を考えます。
距離が一定の場合、速度比と時間比は反比例(逆比)になることを利用した問題です。
午後3時40分に家を出て、友人と公園で待ち合わせをした、もえかさんが歩く速さと公園まで行く時間の関係が2通り与えられています。分速80mで歩くと待ち合わせ時刻の6分前に公園に着きます。分速60mで歩くと待ち合わせ時刻に2分おくれます。
(1) 公園までの距離は等しいですから、速度比 80：60＝4：3より、かかった時間の比は、逆比の1/4：1/3＝3：4です。実際にかかった時間の差は、6＋2＝8分です。ここがポイントです。よって、8÷(4－3)×3＝24より、分速80mで歩いたときにかかった時間は24分で、待ち合わせ時刻の6分前に着きましたので、3時40分＋24分＋6分＝4時10分より、 待ち合わせ時刻は、午後4時10分です。
(2) 分速80mの速度で24分かかりましたので、80×24＝1920 より、家から公園までの道のりは、1920mです。
ダイヤグラムによる旅人算の問題を考えます。
姉と妹が、A、Bの2地点から向かい合って進みます。
(1) それぞれの動きを表す線を使った直角三角形を読み取ります。AB間を、姉は9分で、妹は(16－1＝)15分で進むことがグラフより読み取れます。AB間の距離が等しいですから、前問と同様、速度比と時間比は逆比となります。1/9：1/15＝5：3より、姉と妹の速さの比は、5：3です。
(2) 姉がA地点を出発してから妹に出会うまでに進んだ距離と、妹が姉に出会ってからA地点に到着するまでの距離は同じです。ここが、ダイヤグラムでの旅人算のポイントです。この同じ距離を進むのにかかる時間の比は、速度比の逆比になりますので、1/5：1/3＝3：5で、合わせて16分です。よって、16÷(3＋5)×3＝6 より、姉が妹と出会うまでの時間xは、6(分)です。
面積比の問題を考えます。
三角形の中を分割してできた、三角形の面積比と辺の比の問題です。予習シリーズ87ページの応用公式を確認してください。
(1) BD：DC＝三角形OBAの面積：三角形OCAの面積となります。よって、面積比 6：10＝3：5より、BD：DC＝3：5です。
(2) AO：OD＝四角形ABOCの面積：三角形OBCの面積となります。四角形ABOCの面積＝三角形OABの面積＋三角形OCAの面積＝6＋10＝16、よって、面積比 16：8＝2：1より、AO：OD＝2：1です。
図形の移動を考えます。
おうぎ形の回転移動の問題です。半径10cm、中心角72度のおうぎ形を、直線にそってすべらないように転がします。
(1) □の長さは、おうぎ形の弧ABがたどる長さです。よって、弧の長さ、10×2×3.14×72/360＝4×3.14＝12.56 より、□の長さは12.56cmです。
(2) おうぎ形の中心Oが動いたあとの線の長さを求めます。予習シリーズ別冊解答43ページの図を参照してください。
半径OAが直線に直角になるまで動きますので、点Oの動いた角は90度です。その後、点Oは、常に半径の長さだけ直線から離れて動きますので、直線と平行になり、その長さは(1)の長さです。また、その後は初めの動きの逆になり、点Oの動いた角度はやはり90度です。
まとめると、半径は10cm、動いた角度の合計は、90＋72＋90＝252度になりますので、 10×2×3.14×252/360＝14×3.14＝43.96 より、点Oが動いたあとの線の長さは、43.96cmです。
(3) 四分円＋長方形＋四分円の面積を求めます。ここで、長方形の横の長さは、(1)で求めた、4×3.14です。
まとめると、10×10×3.14×1/4×2＋10×(4×3.14)＝(50+40)×3.14＝90×3.14＝282.6より、面積は、282.6平方cmです。円周率の計算は、それ以外の計算をまとめてから、取り掛かりましょう。
弱点分野があった場合には、各回に戻って補強していきましょう。
第10回は『総合』です。まずは、各回の内容が理解できているかを基本問題で、確認しましょう。
総合回は、弱点の見直しのチャンスです。苦手な分野を基本から見直すことを心がけて進んでいきましょう。
推理して解く問題を考えましょう。
勝敗の問題です。対戦表を作って解いていきますが、メルマガでは表示できませんので、予習シリーズ別冊「解答と解説」38ページの対戦表を参照してください。自分で作ってみましょう。
A(チーム)は、Bとの試合で負けましたが、3勝1敗ですので、他のチーム(C、D、E)に勝ちました。
→ A対(A,B,C,D,E)は、(－×〇〇〇) (－は、自分との試合なしを表す)
CはAには負けましたが、同じく3勝1敗ですので、他のチーム(B、D、E)には勝ちました。
→ C対(A,B,C,D,E)は、(×〇－〇〇)
Dは、A、Cには負け、Eには勝っていますので、この時点で1勝2敗。
→ D対(A,B,C,D,E)は、(×？×－〇)
Eは、A、C、Dに負けていますので、この時点で3敗です。
→ E対(A,B,C,D,E)は、(×?××－)
ここで、DとEは勝ち数が同じという条件ですから、DとEは、1勝3敗です。
そこで、Bの勝敗を考えますと、Aには勝ち、Cには負け、Dには勝ち、Eには負けとなります。
→ B対(A,B,C,D,E)は、(〇－×〇×)
よって、Bが負けた相手のチームは、CとEです。
多角形の性質の問題を考えます。
三角形の面積を求める問題です。高さがわかりません。ただし、内角の1つが30度と与えられています。
問題の図で、10cmの辺の右上の頂点から、14cmの辺へ直角に線を引きます。この線により、30度、60度、90度の直角三角形ができました。この直角三角形は、正三角形の半分ですので、直角に引いた線の長さは、10cmの半分の5cmになります。問題の三角形で、この5cmは、底辺を14cmとしたときの高さになります。よって、14×5÷2＝35 より、三角形の面積は、35平方cmです。
円とおうぎ形の問題を考えます。
円に関連した図において、まわりの長さや面積を求める問題です。
(1) 色のついた部分のまわりの長さを求めます。同じ半径の、半円の弧と2つの四分円の弧でできていますので、長さとしては、1つの円周になります。よって、直径が8cmですから、8×3.14＝25.12 より、色のついた部分のまわりの長さは、25.12cmです。
(2) 色のついた部分の面積を求めます。図形を移動させて、求めやすい形に直します(等積移動または等積変形)。この図形の下から4cmのところで横に切り分けて、上部分の半円をたてに半分にします。この2つは四分円ですので、下部分の色のついていない部分にピッタリはまります。
結果、色のついた部分の面積は、たて4cm、横8cmの長方形の面積と同じになりました。よって、4×8＝32 より、色のついた部分の面積は、32平方cmです。
練習問題から、割合の表し方について考えてみましょう。分数は、分子/分母の形で表します。
棒A、Bともに、水中に入っている部分(水の深さ)に注目することがポイントです。棒Aでは、135×4/5＝108 より、水の深さは108cmとわかります。ですから、棒Bでは、□×6/11＝108 となりますので、逆算して、□＝108÷6/11＝108×11/6＝198 より、棒Bの長さは、198cmです。
(1) 男子のうちの3人を女子のグループに入れると、27＋3＝30(人)が、男子の3/5以外の1－3/5＝2/5 となります。ここがポイントです。よって、30÷2/5＝30×5/2＝75 より、4年生全体の人数は75人です。
(2) (1)より、男子は、75－27＝48(人)です。男子の欠席は、48×1/8＝6(人)。女子の欠席者は、27×2/9＝6(人)。よって、6＋6＝12 より、欠席者は合計で12人です。
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