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ホーム鉄人の一通入魂メールマガジンSAPIXで勝つ方法予想問題付き!サピックス5年生 8月26日(日)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

予想問題付き!サピックス5年生 8月26日(日)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

今回のマンスリーテストは、夏期講習で習った単元すべてがテスト範囲となります。夏期講習の理解度を測る大事なテストですが、範囲がとても広いため、どこをポイントに復習すればよいのか、お困りではないでしょうか。
そこで今回は、8月度マンスリーテスト対策について、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、第5位から第1位までのランキングのかたちでご紹介します。
このランキングを参考に夏期講習の理解度チェックを進めながら、ぜひ万全の構えでマンスリーテストに臨んでください!

また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は8/10(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!予想問題をアップするページはこちらです。ぜひ、ブックマークをしておいてください!

それではランキングの発表です。まずは第5位からです!

【第5位 比と割合の応用問題 面積図をフル活用できていますか?】

比と割合の問題を解く際に、面積図をしっかり活用できるとできないとでは、問題を解くスピード、正確性に格段の違いが生まれます。面積図をフル活用できれば、比と割合の問題の勝者に大きく近づくことができるのです。「食塩水の濃度」から例題を挙げます。

容器Aに濃度6%の食塩水が200g、容器Bに濃度9%の食塩水が入っています。容器Aと容器Bの食塩水をすべて混ぜ合わせると、濃度は8%になります。容器Bに入っている食塩水は何gですか

ただでさえ解きづらい食塩水の混ぜ合わせの問題で、しかも一方の食塩水の量がわかっていない、となると、どう手をつけてよいかがわからなくなります。
そこで「面積図」が効果を発揮するのです。
面積図の基本的なかき方からご説明します。まず、2つの長方形をかいてみましょう。たての長さを食塩水の濃度、横の長さを食塩水の量とします。長方形の面積は、(食塩水の量×濃度)で導き出される、食塩の量を表すことになります。
左の長方形を容器A、右の長方形を容器Bとして、わかっている数値をかき込んで行きます。まず容器Aの食塩水は、濃度が6%、食塩水の量が200gなので、左の長方形のたての長さが6、横の長さが200となります。次に容器Bについて、横の長さはわかりませんので適当な長さとして、たての長さは濃度9%より、9となります。
そして、2つの食塩水を混ぜ合わせてできた食塩水を表す、3つ目の長方形をかき込みます。横の長さは、2つの長方形の横の長さを合わせた長さ、たての長さは濃度8%を表す8、となります。
ここからは、長方形の面積を使って解き進めて行きます。左の長方形の濃度8%の線よりも下にできる小さな長方形と、右の長方形の濃度8%の線から上に突き出た部分の小さな長方形の面積が同じであることが、面積図を使った解き方のポイントになります。左の小さな長方形のたての長さは(8-6=)2、右の小さな長方形のたての長さは(9-8=)1なので、たての長さの比の2:1に対して、横の長さの比は逆比の1:2となります。この逆比の考え方はとても大事ですので、ここが曖昧な場合は、急ぎ復習を重ねてください。容器Bの食塩水の量は、200÷1×2=400より、400gと求められます。

このような食塩水の混ぜ合わせの問題だけでなく、平均算などでも面積図の効果は絶大となります。面積図をマスターできれば、これから6年生になっても、問題対応力が格段にアップします。時間をかけて構いません。この夏休みにぜひ面積図をマスターしてください。

【第4位 規則性の問題 カレンダーでの日数の数え方はできていますか?】

この単元では、カレンダーの問題と数列の問題についてご説明しましょう。
まずはカレンダーの問題です。例題を挙げます。

ある年の7月23日は水曜日です。同じ年の10月5日は何曜日ですか

基本的な問題ですが、日数の数え方を少しでも間違えてしまうと失点につながる、危険な問題でもあります。自分の解き方をしっかり確立させておきましょう。

はじめに、「○日後」の数え方をご紹介します。7月は31日あるので、7月23日から残り31-23=8(日)、8月は31日、9月は30日ですので、同じ年の10月5日は、7月23日から、(31-23)+31+30+5=74(日後)となります。74÷7=10余り4より、10月5日の曜日は水曜日から「4日後」です。ここまで来れば、後は数えればよいだけで、木・金・土・日より日曜日と求められます。

起点の7月23日を日数に含める計算方法もあります。7月23日を含めると、7月は31-23+1=9(日)となり、ここが上記の方法と異なってきます。あとは8月が31日、9月が30日、10月が5日となることは上記と同じで、日数の合計が9+31+30+5=75となります。この75を一週間の日数である7で割ることも上記と同じです。75÷7=10余り5となりますが、この5は「水曜日から火曜日まで」を一周期とした余りですので、水曜日から数えて水・木・金・土・日として、日曜日を導き出せます。この余りの考え方が上記とは大きく異なりますので、注意してください。

どちらの方法でも構いません。大事なのは、計算方法をどれだけ自分のものにしているか、その方法でどれだけ正確に解けるかです。自分の解き方を確立させられるように練習を重ねてください。

数列の問題からは以下の例題を挙げてみます。

下のように、あるきまりにしたがって整数が左から順に並んでいます。次の①、②に答えなさい。
1、1、2、1、1、2、3、2、1、1、2、3、4、3、2、1、…
1左から数えて45番目の整数はいくつですか。
2左から数えて80番目までの80個の整数のうち、1は全部で何個ありますか

数の並び方のきまり自体は、それほど難しくはないでしょう。( )内は各組に含まれる整数の個数を表すものとして、1組目が1(1個)、2組目が1、2、1(3個)、3組目が1、2、3、2、1(5個)、4組目が1、2、3、4、3、2、1(7個)…といった組で分けられています。

まず①ですが、45番目の整数が、何組目の何番目かがわかれば、答えに大きく近づきます。そこで、各組に含まれる整数の個数を見てみると、1、3、5、7、…と奇数列になっています。
ここでポイントとなるのが、「1から並ぶ奇数の和=平方数」となることです。実際に例を挙げてみると、1+3=4(2×2)、1+3+5=9(3×3)、1+3+5+7=16(4×4)…と和が平方数になっていることがわかります。
このことから、45に最も近い平方数がわかれば、組の数も導き出せます。6×6=36、7×7=49より、45番目の整数までに6組が過ぎており、45番目の整数は7組目の(45-36=)9番目の整数であることがわかります。7組目は1、2、3、4、5、6、7、6、5、…と数が並ぶので、45番目の整数は5となります。

次に②ですが、基本的な考え方は①と同じです。80番目の整数が何組目の何番目かを、まず求めましょう。80に最も近い平方数は8×8=64なので、80番目の整数は9組目の(80-64=)16番目の整数であることがわかります。1は、1組目には1個、2組目以降は最初と最後の2個ずつあります。9組目は、16番目までで、整数が最後まで並んでいないので、最初の1個だけです。よって、1は全部で、1+2×7+1=16(個)あることがわかるのです。

規則性の問題では、数が大きくなると、数え上げていく作業に限界が生じます。今回の「1から並ぶ奇数の和=平方数」のような活用価値の高いきまりは、少しでも覚えておくようにしましょう。

【第3位 場合の数の問題 配り方の応用問題に対応できていますか?】

次のような問題は、どのように解き進めればよいでしょうか。

りんご20個と、みかん4個を、A君、B君、C君の3人に8個ずつ分けるとき、全部で何通りの分け方がありますか。ただし、みかんを1個ももらわない人がいてもよいものとします

といった配り方を求める問題です。
このようなタイプの問題では、「少ない数のものの配り方で決める」ことに注意しましょう。片方の配り方が決まれば、もう片方も決まってきます。上記の問題であれば、個数の少ない、みかん4個の配り方を求めます。例えば、(A君、B君、C君)にみかんを(0個、1個、3個)配るとすると、空いたスペースにりんごを入れれば、りんごは(8個、7個、5個)と決まってくるのです。
あとはみかんを配る個数を決めて、それぞれ何通りあるかを求めれば解けます。(0個、0個、4個)で3通り、(0個、1個、3個)で6通り、(0個、2個、2個)で3通り、(1個、1個、2個)で3通り、全部で3+6+3+3=15(通り)となります。
解き方を覚えてしまえば、難しい計算が必要な問題ではありませんので、得点の可能性がとても高くなります。

ただし、このような問題でひとつ気をつけておかなければいけないポイントがあります。りんごやみかんが、それぞれかたちが違うのだから、「別のものとして区別しなければいけない」と考えることがないようにする、ということです。この問題であれば、みかんはすべて同じとし、みかんA、みかんB、みかんC、…と区別はしないのです。「それぞれを区別する」という明記がない限りは、みかんは同じみかんとして考える、ということに注意してください。りんごやみかんに、ひとつとして同じものはないことは確かですが、算数の問題として、問題の指示にしっかり従うようにしましょう。

【第2位 水量グラフの問題 グラフに数値や記号をかき込めていますか?】

例題を挙げますが、メルマガではグラフはかけませんので、説明にそってグラフをかいてみてください。
まず先に問題をご紹介します。以下の通りです。

水そうに水を入れるA管とB管、水を出すC管がついています。グラフは、空の水そうにA管とB管の両方を開いて水を入れ、次にB管を閉じてA管だけで水を入れ、さらにA管を閉じてB管とC管を開いたときの水そうの中の水の量の変化を表しています。C管を開くと、1分間に何リットルの水が水そうから出ますか

それではグラフの説明に進みます。まず今回の問題の水の出し入れですが、3つの段階に分かれます。A管とB管を開く→A管のみ開く→B管とC管を開く、この3段階です。よって、グラフも3本の直線がつながるかたちになります。
グラフは、縦軸を水そうに入れられた水の量(単位:リットル)、横軸を時間(単位:分)とします。ここでグラフ上の点を(水の量、時間)のかたちで表すことにします。例えば5分間で150リットルの水が入るとすると、その状況を表すグラフ上の点は(5、150)となります。
まず、0分のところでは水は一滴も入っていませんので、グラフは原点(0、0)から始まります。最初の直線ですが、(0、0)と(10、300)の点を結んでください。次に(10、300)と(15、390)を結びます。最後に(15、390)と(30、240)の点を結んで、グラフは完成です。はじめに右上がりの直線、それにつながって少し傾斜がゆるやかな右上がりの直線、最後にそこから右下がりの直線、というかたちで3本の直線がつながるグラフになりましたでしょうか。

もちろんテストではグラフは与えられていますので、こうしたグラフをかくという作業は必要ないのですが、実際にグラフをかいてみると、問題での水量の変化がどのようなものなのかが、よりわかりやすくなる効果があります。ぜひ一度、グラフをかいてみてください。

さて、問題を解くにあたってですが、グラフを有効に活用するためにも、グラフの中に記号や数値をかき込んでしまいましょう。さらに変化の内容がわかりやすくなります。この問題であれば、最初の(0、0)と(10、300)を結ぶ直線のところに、「AとB:300÷10=30(リットル/分)」とかき入れます。これはこの区間に、A管とB管の両方を開いて、1分間に30リットルの水が入ったことを表します。10分で300リットルなので、上記のような式になります。
式をかくときには、数値のとり方に十分に気をつけましょう。次の(10、300)と(15、390)を結んだ区間の1分間あたりの水の量を計算するときに。390÷15などとしないように注意してください。あくまでも変化の量で数値をとって行きます。この区間は「A:(390-300)÷(15-10)=18(リットル/分)」となります。ここでA管のみを開いたときに入る、1分間あたりの水の量が18リットルとわかりました。
最後の(15、390)と(30、240)を結んだ区間は、「BとC:(390-240)÷(30-15)=10(リットル/分)」となります。この区間では、1分間に10リットルの水が水そうから出ることになります。

これで材料はすべてそろいました。A管のみを開くと、1分間に18リットルの水が入り、A管とB管を両方開くと、1分間に30リットルの水が入るので、B管のみを開いたときに1分間に入る水の量は30-18=12(リットル)です。
ここから最後の詰めですので、慎重に進めましょう。B管で水を入れて、同時にC管で水を出すと1分間に10リットル水が「減る」ので、C管はB管の12リットルに加えてさらに10リットル分の水を出すことになります。よってC管を開くと、水そうからは1分間に12+10=22(リットル)の水が出ることがわかります。12-10=2(リットル)としないように気をつけてください。

ポイントはグラフを自分にとって活用しやすいものに変えて行くことです。そのために数値や式、記号を、見やすいようにグラフにかき入れて行く練習を重ねましょう。

【第1位 平面図形:面積と比の問題 有効な補助線を引いていますか?】

図形の例題を挙げますが、メルマガでは図がかけませんので、説明にそって、図をかいてみてください。
まず台形ABCDをかきます。上底ADと下底BCの長さは適当で構いませんが、上底ADの方を下底BCより、かなり短くなるようにしてください。次に辺ABの真ん中に点Eを置き、EとCを直線で結びます。これで図は完成です。

問題は以下の通りです。

台形ABCDを、辺ABの真ん中の点Eと頂点Cを結ぶ直線で2つにわけたところ、四角形AECDと三角形EBCの面積の比が11:8になりました。このとき、辺ADと辺BCの長さの比を、最も簡単な整数の比で求めなさい

与えられている面積の比11:8から、どのように辺ADと辺BCの長さの比に持ち込めばよいか、考えてしまうところです。ポイントはこの図形が台形であることから、辺ADと辺BCが平行な関係にある、ということです。
それと辺ABの中点Eを活用することを考えて、補助線を引いてみましょう。どのような補助線がよいでしょうか。ここでは、頂点Aと頂点Cを結ぶと、問題が解きやすくなります。補助線ACを引くことで、台形の中に三角形ADC、三角形AEC、三角形EBC、さらに三角形ABCと4つの三角形ができます。このうち、三角形AECと三角形EBCは、頂点をCとすると底辺の長さが等しくなるため、面積が同じになります。
また、先に触れたポイントの辺ADと辺BCが平行であることから、三角形ADCと三角形ABCは高さが共通となり、その面積比は底辺の辺ADと辺BCの長さの比と同じになります。つまり、辺ADと辺BCの長さの比を求めるには、三角形ADCと三角形ABCの面積比を求めればよいということになるのです。

それでは解き進めて行きましょう。なお、「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。
四角形AECDと三角形EBCの面積の比が11:8であることから、四角形AECDの面積をマル11、三角形EBCの面積をマル8とすると、三角形AECの面積もマル8となります。このような面積比の問題では、図に数値をかき込んで行きましょう。間違いを減らすことができますし、方針も定まってきます。
ここで三角形ADCと三角形ABCの面積に注目すると、三角形ADCの面積は(マル11-マル8)よりマル3、三角形ABCの面積は(マル8+マル8)よりマル16となり、三角形ADCと三角形ABCの面積比が3:16になります。よって、辺ADと辺BCの長さの比が3:16と求められます。

今回の問題のように、面積と比の問題では、補助線の引き方が大きなポイントになります。ただ闇雲に線を引いても解決にはつながりません。求めるべきものに至るまでに、どのような道筋をたどればよいのか、というプロセスをしっかり確認して、また与えられた情報をどのように活用すべきかを考えて、効果的な補助線が引けるように練習を重ねましょう。

今回のマンスリーテストは、夏期講習の理解度を確かめる大事なテストではありますが、夏期講習でおさえておくべき単元を明示してくれるテストでもあります。そしてテストそのものは今後の演習のための重要な教材になります。答案が返されたら必ず見直しをして、今後の演習につなげてください。

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