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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第13回・第14回攻略ポイント

<算数 5年下 第13回>

第13回は『仕事算』です。仕事算は、大きく2通りあります。1つ目は、ある仕事の全体量を1として各人のする仕事量を表して、考える問題(必修問題1~3)。2つ目は、各人の仕事量を1として全体の仕事量を表して、考える問題(必修例題4)です。また、全体量が増加しつつ、減少していく問題(ニュートン算)も学習します。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

仕事算の基本的な解法の流れは、次のようになります。まず、仕事の全体量を1として、各人の1日の仕事量を求め、比で表します。次に、この比を利用して、仕事の全体量を新たに作る、というものです。

「必修問題1」は、基本的な仕事算です。
A 1人で20日かけてこの仕事をします。よって1日では、1÷20=1/20の仕事量です。同様に、B 1人で30日かけてこの仕事をしますので、1日では,1÷30=1/30の仕事量です。このことから、1日あたりの仕事量の比は、A:B=1/20:1/30=3:2となります。この比の数値を利用して、仕事の全体量を作ります。A 1人で20日かかるので、仕事の全体量は新たに、3×20日=60となります (当然にBでも2×30日=60) 。ここまでが準備です。

  1. AとBの2人がいっしょに仕事をすると、1日に3+2=5の仕事ができます。よって、60÷5=12より、2人ですると、仕事を終えるまでに12日かかります。
  2. はじめに、Aが8日しますので、3×8=24の仕事量が終わりました。残りの仕事量は60-24=36で、これをBは、36÷2=18より、18日間かかります。よって、8+18=26より、この仕事を終えるまでに26日かかります。

「必修例題2」も、前問と同様の問題です。
準備として、1日の仕事量の比 A:(A+B)=1/24:1/15=5:8より,1日の仕事量をAは5とすると、Bは8-5=3、そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、5×24=120となります。

  1. 120÷3=40より、Bが1人ですると40日かかります。
  2. Aがa日間仕事をすると、5×aの仕事量、Bがb日間仕事をすると、3×bの仕事量、2人合わせて、a+b=28日間で、5×a+3×b=120の仕事をすることになります。日数(かける数量)の合計が与えられ、仕事量(積=かけ算の答え)の合計が与えられているので、つるかめ算を使って解きます。Bが28日間仕事をしたことにすると、3×28=84の仕事ができます。差である、120-84=36は、Bより1日に、5-3=2ずつ多く仕事ができるAがしたことで終了しました。よって、36÷2=18より、Aは18日仕事をしたことになります。

「必修例題3」は、登場人物の3人がいっしょに仕事をしますが、途中で、仕事を休む人がいる問題です。
準備として、1日の仕事量の比 A:B:C=1/20:1/60:1/30=3:1:2より、1日の仕事量を、Aを3とすると、Bは1、Cは2と表されます。そして、全体の仕事量は、Aの1日の仕事量から計算して、3×20=60となります。
以下の方針で進めて行きます。1日も休まなかったCの仕事の日数、つまり求める日数にAとBの仕事の日数を合わせて、増えた日数分の仕事量を全体の仕事量に足します。こうして作った新たな仕事量は、A、B、Cの3人がCの仕事日数分働いた量ですので、これを3人の仕事量の和で割ることで答えに行きつくことができます。
仮にAが4日休まず、Bが6日休まなかったとすると、全体の仕事量は 3×4+1×6=18増えて、60+18=78になります。これを、1日に3人合わせて3+1+2=6ずつ仕事をすることになりますので、78÷6=13より、13日となります。

【攻略ポイント2】

仕事の最小単位(基本的には、1人が1日にする仕事量)を1として、これをもとに、全体の仕事量(のべ量といいます)を表して考える問題を学習します。帰一算ともいいます。

「必修例題4」は、帰一算の問題です。
1人が1日にする仕事量を1とすると、12人が5日間でする仕事量は、1×12×5=60です。この仕事を10人でしますから、60÷(1×10)=6より、6日かかります。なお、はじめの設定である、1人1日の仕事量の1は、省略してもかまいません。つまり、人数×日数を全仕事量としてもよいです。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、増加(わき出す水)する量があるとともに、減少(ポンプでくみ出す)する量がある問題で、ニュートン算といわれる問題です。予習シリーズ124ページにある説明図を参照してください。
ニュートン算は、「(減少量-増加量)×時間=はじめの量」の形に整頓すると、考えやすくなります。ただし、ここの減少量・増加量は時間単位1あたりの量を表します。
問題の300Lがはじめの量、毎分5Lのわき出す水が増加量、ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量が減少量となります。

  1. ポンプ1台で1分ごとにくみ出す量を□Lとして整頓すると、(□-5)×30分=300Lとなりますので、逆算をして、300÷30+5=15より、ポンプ1台がくみ出す量は、毎分15Lとなります。
  2. ポンプ2台でくみ出す時間を□分として整頓すると、(15×2-5)×□分=300Lとなります。逆算をして、300÷25=12より、泉は12分で空になります。

<算数 5年下 第14回>

第14回は『容器と水量(2)』です。2つの内容を学習します。1つ目は、容器の水の中にある物体を沈めたときの、水の深さの変化を考える問題です。基本は、[水に沈めた物体の体積=見かけ上増えた水の体積]です。2つ目は、容器を傾ける問題です。ここでは、自分で図をかいて考えることで、理解が深まります。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、水の入った容器に、物体を沈める問題です。予習シリーズ133、134ページの解き方にある図を参照してください。底面積が200平方cmで、高さが20cmの直方体の容器に、深さ14cmまで水が入っています。

  1. この容器に1辺が10cmの立方体を沈めます。沈めた立方体の体積は、10×10×10=1000立方cmですから、見かけ上増えた水の体積も1000立方cmです。容器の底面積は200平方cmですから、1000÷200=5より、見かけ上の深さが5cm増えます。よって、14+5=19より、水の深さは、19cmです。
  2. 見かけ上増えた水の体積を求めると、沈めた物体の体積になります。容積(容器の体積)と水の体積の差に、こぼれた水の体積を加えた合計が、見かけ上増えた水の体積となります。容積と水の体積の差は、200×(20-14)=1200立方cmで、こぼれた水の体積150立方cmを加えます。1200+150=1350より、見かけ上増えた水の体積、よって、物体の体積は、1350立方cmです。

「必修例題2」も、前問と同様に、水の入った容器に、物体を沈める問題ですが、注意すべき点があります。予習シリーズ134、135ページの解き方にある図を参照してください。
底面積が250平方cmで、深さが20cmの円柱の容器に10cmの深さまで水がはいっています。また、底面積が50平方cmで、高さが15cmの直方体のおもりが2個あります。

  1. 水の体積は、250×10=2500立方cmです。おもり1個を容器の底に立てると、おもりの一部が水より上に出ると考えます。そこで、水の入る部分の底面積は、250-50=200平方cmとなります。よって、2500÷200=12.5より、深さは、12.5cmです。この12.5cmは、おもりの高さの15cmより低いので、おもりが水面より上にありますから成り立ちます。しかし、次の問題では、同じように考えられないところが出てきます。
  2. おもり2個を容器の底に立てると、水の入る部分の底面積は、250-50×2=150平方cmです。よって、2500÷150=16・2/3より、水の深さは、16・2/3cmとなりますが、おもりの高さの15cmより高くなっていて、おもりが水面より上になるものとして考えた前提が、間違っていたことになります。そこで、すべて水に沈むものとして、解き直します。おもり2個の合計である、50×15×2=1500立方cmの物体を水に沈めますので、見かけ上増えた水の深さは、1500÷250=6cmです。よって、10+6=16より、水の深さは、16cmです。

必修例題2は、比を利用した別解も考えられますが、ここでは、比を利用せずに説明しました。比の利用については、予習シリーズの解き方を参照してください。

「必修例題3」は、おもりの置き方をかえて水に入れたときの、水の深さを考える問題です。予習シリーズ135ページの問題の図、および解き方にある図を参照してください。

  1. (1)(図2)の深さ8cmが、(図3)の深さ10cmに変化したのは、(図2)の水面より上の部分を切り取って、水の中に入れたと考えられます。つまり、8×8×(12-8)=256立方cmの体積の物体を水に沈めたことにより、深さが10-8=2cm増えたと考えます。よって、256÷2=128より、水そうの底面積は、128平方cmです。
  2. (2)(図3)において、深さ10cmのときの体積から、おもりの体積を引いた部分が水の体積です。おもりの体積は、8×8×12=768立方cmですから、128×10-768=512より、水の体積は、512立方cmです。
【攻略ポイント2】

水の入った容器を傾けたときの、水の体積や、部分的な長さを求めることを学習します。

「必修例題4」は、水の入った容器を傾ける問題です。予習シリーズ137ページの問題の図、および解き方の図を参照してください。1辺の長さが12cmの立方体の容器に8cmの深さまで水が入っています。この容器を、底面の1つの辺を床につけたまま傾けます。

  1. この容器を正面から見た状態で、水によってできる図形の面積を考えます。奥行き(立方体のたて方向)は同じですので、傾ける前も、傾けた後も、正面から見た四角形の面積は等しいです。傾ける前の長方形の面積は、8×12=96平方cmです。ですから、(図1)の台形の面積を求める式は、(x+12)×12÷2=96となります。よって、96×2÷12-12=4より、xは、4cmです。なお、別解として次のように考えることもできます。面積が等しく、容器底面の横の長さも等しいので、どちらも、容器の左右の部分にある辺の長さの合計は等しくなります。つまり、8+8=12+xとなります。よって、x=8+8-12=4より、x=4cmと考えることもできます。
  2. 水面は、床と平行になります(ここがポイント)。水面の線と容器の辺の間は、平行線のさっ角により45度になりますので、水によってできる図形は、直角三角形になります。よって、(図1)と比べると、xを底辺とする三角形の部分がこぼれた水の部分です。面積は、4×12÷2=24平方cmで、この面積に奥行きの12cmをかけると、体積になります。24×12=288より、こぼれた水の体積は、288立方cmです。
  3. はじめに入っていた水の体積は、12×12×8=1152立方cmで、こぼれた水の体積である540立方cmを引いて、1152-540=612立方cmが、残っている水の体積です。(図2)の面積に奥行きの12cmをかけると、残っている水の体積になりますので、式に整頓すると、y×12÷2×12=612となります。よって、612÷12×2÷12=8.5より、yは8.5cmです。

<算数 4年下 第13回>

第13回は『割合(1)』です。たとえば、「10の3倍は30」という文章において、10をもとにする量、3倍を割合、30をくらべる量とします。言葉を使って式にすると、(もとにする量)×(割合)=(くらべる量)となります。文章を読む場合、「AのBはCです」という形(式にすると、A×B=C)に整頓し直して考えると良いです。この場合、もとにする量=A、割合=B、くらべる量=Cとなります。特に、「Aの~」と「の」がついた部分がもとにする量となることに注意しましょう。メルマガでは、分数は、分子/分母の形で表し、帯分数は、整数・分子/分母と表すことにします。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、トレーニング問題です。求める数を□として整頓して考えます。

  1. 75×2=□ですから、□=150(円)です
  2. 40×□=240より、240÷40=6、よって、□=6(倍)です。
  3. □×7=105より、105÷7=15、よって、□=15(m)です。

「必修例題2」は、割合についての問題です。はじめに説明しましたように、(もとにする量)×(割合)=(くらべる量)ですから、ここでは、(割合)=(くらべる量)÷(もとにする量)を計算します。定員の30人がもとにする量、各問題の人数がくらべる量です。

  1. 60÷30=2より、割合は、2(倍)です。
  2. 25÷30=25/30=5/6より、割合は、5/6(倍)です。
  3. 42÷30=1.4より、割合は、1.4(倍)です。

以上のように、割合を表す数は、整数、分数、小数のいずれでもかまいません。ただし、分数の場合は約分を忘れないようにしましょう。

「必修例題3」は、割合の文章題です。予習シリーズ100ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 「太郎君の年令はお父さんの年令の2/7です。」を「お父さんの年令の2/7は太郎君の年令」と読み直すと、A(もとにする量)=お父さんの年令、B(割合)=2/7、C(くらべる量)=太郎君の年令となります。太郎君の年令を□才として式にすると、42×2/7=□となります。□=12ですから、太郎君の年令は12才です。
  2. 「去年のねだんの1.6倍は今年のねだん」と読み直せますので、A=去年のねだん、B=1.6、C=今年のねだんです。今年のねだんを□円として式にすると、750×1.6=□となります。□=1200ですから、今年のねだんは1200円です。
【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、前問と同様、割合の文章題です。
「クラス全体の人数の2/9が(欠席した)8人」ということになりますので、A=クラス全体の人数、B=2/9、C=8となります。クラス全体の人数を□人として式にすると、□×2/9=8と整頓できます。逆算して、□=8÷2/9=36より、クラスの人数は36人です。

【攻略ポイント3】

単位あたりの量の問題です。単位あたりの量は、「わり算の商(答え)は、(わる数1つ分)に対する(わられる数の量)を表す」ことを利用して考えます。たとえば、「450円を9人で分ける」という問題は450円÷9=50円となりますが、この50円は1人あたりの金額ということです。

「必修例題5」は、単位あたりの量を求める問題です。1単位あたりの量を□として整頓して考えてみます。予習シリーズ102ページの解き方の線分図を参照してください。

  1. 1mあたりの重さを□kgとして、整頓すると、□kg×3=2.7kgです。逆算して、2.7÷3=0.9より、この針金1mの重さは、0.9kgです。ここでは、m単位の数で、kg単位の数をわることになります。
  2. 1Lあたりのねだんを□円として、整頓すると、□円×2・1/3L=420円です。逆算して、420÷2・1/3=420÷7/3=420×3/7=180より、このジュース1Lのねだんは、180円です。ここでは、L単位の数で、円単位の数をわることになります。

単位あたりを求める問題では、「答えとなる単位(kgや円)のついた量を、もう1つの単位(mやL)のついた量でわり算すること」と覚えておいてください。

<算数 4年下 第14回>

第14回は『場合の数(1)』です。例えば、A、B、Cの3つの文字を、順序を考えて並べるとき、何通りの並べ方があるかを考えるような問題を、場合の数の問題といいます。この問題の答えは、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。場合の数の問題では、もれがなく、重なりがないよう、順序よく考えることが大切です。

【攻略ポイント1】

規則正しい数え方を学習します。

「必修例題1」は、{0、1、2、3}の4まいのカードから3まいのカードをならべて3けたの整数を作る問題です。0のカードがある場合は、注意が必要です。

  1. 最も小さい数を作ります。大きい位に小さいカードを使っていくことになります。ですが、百の位に0のカードは使えませんので、百の位に1のカードを使います。十の位には0を使い、一の位には次に小さい2を使います。よって、最も小さい数は、102です。
  2. 続けていくと、百の位に1を使った数は、102、103、120、123、130、132、と6つできます。次は、百の位に2を使った数で、201、203、となりますので、小さい方から8番目の数は、203です。

「必修例題2」も、前問と同様の問題です。{0、1、2、2}には、0が入っていること、2が2つあることに注意して考えます。
3けたの数を作るのですが、百の位に0は使えません。

  • (ア)まず百の位に1を使う場合を考えます。十の位には、残りの0か2を使うことができます。ここまでで、10□、12□の2通りです。一の位には、10□のときは2、12□のときは0か2(2つ目の2)を使うことができます。よって、102、120、122の3通りができます。
  • (イ)次に百の位に2を使う場合です。十の位には、残りの0か1か2(2つ目の2)を使うことができます。ここまでで、20□、21□、22□の3通りです。一の位には、20□のときは1か2(2つ目の2)、21□のときは0か2(2つ目の2)、22□のときは0か1を使うことができます。よって、201、201、210、212、220、221の6通りができます。
  • (ア)と(イ)より、3けたの整数は(3+6=)9 通り作ることができます。
【攻略ポイント2】

樹形図の利用を学習する内容ですが、ここでは、樹形図をかくことができませんので、予習シリーズの樹形図を参照してください。樹形図をかく場合でも、数を小さい順にならべるなど、きまりを作り規則正しくかくことが大切です。

「必修例題3」は、兄、私、妹の3人が横一列にならぶ問題です。
基本的には数を並べる場合と同様です。

  1. (1)「兄」を左はしにして並べていくと、(兄・私・妹)か、(兄・妹・私)かの2通りできます。
  2. (2)「私」を左はしにして並べていくと、(私・兄・妹)か、(私・妹・兄)かの2通り。「妹」を左はしにして並べていくと、(妹・兄・私)か、(妹・私・兄)かの2通り。よって、(1)の「兄」を左はしにする2通りもふくめて、2+2+2=2×3=6より、6通りできます。(2)のように、だれが左はしにきても場合の数が同じになる、つまり「並べ方の条件が等しい場合」には、「かけ算を使うことができる」ということに、注意しておいてください。

「必修例題4」は、{0、1、2、3}の4まいのカードの中から、3まいのカードをならべて、3けたの偶数を作る問題です。
偶数は、一の位に偶数を使うことでできます。よって、一の位から使うカードを決めていきます。0のカードがふくまれるので、注意が必要です。

  • (ア)まず、一の位に0を使います。百の位には、1、2、3のどのカードを使ってもよいので、1□0、2□0、3□0の3通りとなります。十の位には、1□0の場合には2か3の2通り、2□0の場合には1か3の2通り、3□0の場合には1か2の2通り使うことができます。よって、3×2=6通り作ることができます。
  • (イ)一の位に2を置く場合には、残りの0、1、3のうち、百の位に0は使うことができないので、1□2、3□2の2通りとなります。十の位には、1□2の場合には0か3の2通り、3□2の場合には0か1の2通り使うことができます。よって、2×2=4通り作ることができます。
  • (ア)と(イ)より、3けたの偶数は(6+4=)10通りできます。

場合の数の問題は、4年生でもう1回(第18回)ありますし、5年生でも学習します。難しい内容ですので、一つひとつ、確実に理解していきましょう。

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