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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第15回・第16回攻略ポイント

<算数 5年下 第15回>

第15回は『総合』です。基本問題の中で、注意すべき問題を取り上げます。その他の問題については、第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

【攻略ポイント1】

「基本問題 第11回 速さと比(3)の3」は、池の周りを動く旅人算の問題です。

1周の距離は等しいので、速度比は時間比の逆比となります。A君とB君の速度比は、1/40:1/60=3:2です。A君の速さを毎秒3とすると、40秒で池の周りを1周しますから、池の周りの距離は、3×40=120となります。

  1. 毎秒3の速さのA君が10秒で進む距離は、(3×10=)30ですから、30の距離だけ離れた地点を同時に毎秒3の速さのA君と毎秒2の速さのB君が、向かい合って出発したことになります。よって、30÷(3+2)=6より、2人がはじめて出会うのは、6秒後です。
  2. はじめて出会った後は、2人合わせて120の距離を進むたびに出会いますから、120÷(3+2)=24秒ごとに出会うことになります。よって、6+24+24=54より、3回目に出会うのは、2人が走り始めてから54秒後です。

「基本問題 第12回 流水算・通過算の2」は流水算の問題です。ここでは、静水時の船の速度=船、川の流れの速度=川、上る速度=上速、下る速度=下速、と表します。

  1. 船Aの上速は、9450÷45=210m/分、下速は、9450÷35=270m/分です。上速=船-川、下速=船+川、ですから、和差算を使って、(210+270)÷2=240より、船Aの静水時の速度は240m/分です。
  2. 同じ川を同時に、上り、下りして出合うタイプの問題では、次のことを理解しておきましょう。上速=船-川、下速=船+川で、向かい合って進みますから、速度の和を考えますが、この速度の和は、上速+下速=船-川+船+川=船+船となり、川の速度は考える必要はありません。よって、8400÷20=420m/分が、船Aと船Bの静水時の船の速度の和となります。420―240=180より、船Bの静水時の速度は、180m/分です。

「基本問題 第13回 仕事算の2」は、A、Bの2人で仕事をする問題です。
はじめに仕事の量を1とします。Aだけでは18日で1の仕事をしますから、1日で1/18の仕事をすることになります。同様に、Bだけでは、1日で1/30の仕事をします。1日あたりの仕事量の比は、A:B=1/18:1/30=5:3です。ここから、比で表した数値を使って、解いていきます。1日に5の仕事をするAが、18日で全体の仕事をしますから、ある仕事の全体の量は、5×18=90と考えられます。

  1. 1日に5の仕事をするAと、1日に3の仕事をするBが2人で90の仕事をします。よって、90÷(5+3)=11.25より、この仕事を、A、Bの2人ですると、12日目に終わります。
  2. 2人が12日仕事をすると、(5+3)×12=96の仕事ができますが、96-90=6の仕事が余分です。これは、Bが休まずに仕事をしたときの仕事量です。よって、6÷3=2より、2日分ですので、Bが休んだのは、2日です。

「基本問題 第14回 容器と水量(2)の3」は、水の入った容器に直方体の棒を入れていく問題です。

  1. 問題の(図1)において、水の体積は、容器の底面積から棒の底面積をのぞいた、底面積=200-80=120平方cmで、深さが10cmより、120×10=1200立方cmです。この体積を、棒を取り除いた、底面積が200平方cmの容器で考えますので、1200÷200=6より、水の深さは、6cmとなります。
  2. 棒を5cmだけ水にしずめると、80×5=400立方cmの水が増えることと同じになります。1200+400=1600立方cmの水が底面積200平方cmの容器に入ったことになりますから、1600÷200=8より、水の深さは、8cmになります。
【攻略ポイント2】

※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。
「練習問題3」は、ニュートン算の問題です。
1分間に、窓口1つで宝くじを販売できる人数をマル1、行列に加わる人数をシカク1として、「(減少量-増加量)×時間=はじめの量」の形に整頓します。(マル1×3-シカク1)×30分=窓口3つの際のはじめの行列の人数、また、(マル1×4-シカク1)×18分=窓口4つの際のはじめの行列の人数、となります。

  1. はじめの行列の人数が同じですから、(マル3-シカク1)×30=(マル4-シカク1)×18となります。分配法則を使って、カッコをはずしますと、マル90-シカク30=マル72-シカク18で、この式は、マル(90-72)=シカク(30-18)となり、整頓すると、マル18=シカク12です(線分図にすると、わかりやすいです)。 このことから、マル1:シカク1=1/18:1/12=2:3となりますので、1分間に窓口1つで販売できる人数と、行列に加わる人数の比は、2:3です。
  2. (1)より、1分間に、窓口1つで販売できる人数を2、行列に加わる人数を3とします。窓口3つのケースから、はじめの行列の人数は、(2×3-3)×30分=90となります。よって、窓口6つのときは、(2×6-3)×□分=90より、□=90÷9=10ですから、行列がなくなるまでに10分かかることになります。

<算数 5年下 第16回>

第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の発展的な問題と年令算を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、条件不足のつるかめ算で、いもづる算ともいいます。
1本180円のユリの花と1本120円のバラの花を、代金の合計が1500円になるように買います。ユリの花をA本、バラの花をB本買うとして、整頓すると、180×A+120×B=1500円となります。AとBの和がわかっていません。つるかめ算で解くには条件不足となり、このような問題がいもづる算です。いもづる算は、基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で全体をわって、式を簡単にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。
結果、3×A+2×B=25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A=1、B=11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこからAとBの他の組も次々に見つかるという解法です。
この問題では、A=1、B=11から始めて、そこから(3×A)の増える値と、(2×B)の減る値が同じであれば、(3×A)と(2×B)の合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。
3×Aは、3=3×1の次は、9=3×3、15=3×5=、…というように、Aが2ずつ増えていく数、2×Bは22=2×11、16=2×8、10=2×5、…というように、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらないままになります。まとめると、Aは(2×B)の「2」ずつ増える数、Bは(3×A)の「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)の全部で4通りとなります。

「必修例題2」は、3種類のつるかめ算です。解き方が2通りあります。1個の値段がそれぞれ60円、90円、110円である3種類の品物A、B、Cを合わせて36個買い、代金の合計が3060円になるようにします。

  1. AとBの個数を1:2の割合にする、という条件より、「Aを1個とBを2個」を1組として買うと、代金は、60×1+90×2=240円です。この代金を1+2=3個で割った、240÷3=80円は、Aを1個とBを2個の割合で買った時の平均の値段になり、この1個80円の品物をDとします。品物Cの買った個数をc個、品物Dの買った個数(品物AとBの個数の合計)をd個として、整頓すると、110×c+80×d=3060で、c+d=36ということになります。ここで、品物Cと品物Dについてのつるかめ算を解いて、dの個数を求めます。(110×36-3060)÷(110-80)=30より、dは30個です。よって、30÷(1+2)×2=20より、品物Bは20個にすればよいことになります。
  2. 個数についての条件がない場合には、次のように考えていきます。最も安いAを36個買います。すると、実際よりも、3060-2160=900円安くなっています。ここから、Aの1個とBの1個を交換すると、90-60=30円増えます。また、Aの1個とCの1個を交換すると、110-60=50円増えます。AとBをx個交換し、AとCをy個交換して、900円にすればよいわけです。まとめると、30×x+50×y=900を解くことになります。簡単にして、3×x+5×y=90をいもづる算で解きます。(x、y)の組は、まず、(30、0)が見つかります。xは5ずつ減らし、yは3ずつ増やして、組を作っていきますと、(25、3)、(20、6)、(15、9)、(10、12)、(5、15)、(0、18)となりますが、(30、0)と(0、18)は、xやyが0ですので、あてはまりません(1個は買うという条件に合いません)。よって、5通りです。予習シリーズ153ページの解き方にある表を参照してください。

どちらの解法も、条件を整理して、学習したことのあるつるかめ算のかたちにすることがポイントとなります。

【攻略ポイント2】

年令算について、学習します。年令算では、登場人物の間の年令の差は、いつも変わらないということがポイントになります。

「必修例題3」は、父と私の年令について考える問題です。
現在、父と私の年令の和は44才で、2年後に父の年令が私の年令の3倍になります。予習シリーズ154ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 2年後には、2人とも2才年をとっていますから、父と私の年令の和は、44+2×2=48才です。このときの私の年令を1とすると、父の年令は3となっています。和が48才ですから、私は、48÷(3+1)=12才です。よって、2年もどすと、12-2=10より、現在の私は、10才です
  2. 現在の父は、44-10=34才で、2人の年令の差は、34-10=24才です。この差は、何年か前も同じです。そのときの私の年令を1とすると、父の年令は5ですから、24÷(5-1)=6より、私が6才のときです。したがって、10-6=4より、今から4年前です。

「必修例題4」は、登場人物が5人の年令算の問題です。
現在の4人家族の年令の和は、101才で、6年前には祖母もいて、年令の和は145才でした。

  1. 祖母以外の4人家族の6年前の年令の和は、全員が6才ずつ少なくなるので、101-6×4=77才でした。祖母を入れた5人の年令の和は145才ですから、145-77=68より、6年前の祖母の年令は、68才です。
  2. 現在、祖母もいれば、68+6=74才で、祖母も入れた5人の年令の和は、101+74=175才です。10年前の妹をのぞく、4人の和は127才ですから、この4人が10才ずつ年をとると、127+10×4=167才になります。よって、175-167=8より、現在の妹の年令は、8才です。

<算数 4年下 第15回>

第15回は『総合』です。基本問題において第11回から第14回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

【攻略ポイント1】

「基本問題 第11回 分数(3)の4」は、分数のかけ算の文章問題です。
※帯分数について、「1と2/3」は「1・2/3」と表記します。
かけられる分数を、A/Bとします。5・1/3=16/3より、A/B に16/3をかけて整数の答えにします。分母の3とかけられる分数の分子のAを約分して、分母の3が1にならなければなりませんので、Aは3の倍数です。また、分子の16とかけられる分数の分母のBを約分して、分母のBが1にならなければなりませんので、分母のBは、16の約数です。同様に、2・2/9=20/9より、A/Bに20/9をかけて整数の答えにするためには、Aは、9の倍数で、Bは20の約数です。この2組を同時に考えますので、Aは、3と9の公倍数、Bは16と20の公約数です。このような分数A/Bのうち、最も小さい分数を求めます。分数を小さくするには、分子はなるべく小さく、分母はなるべく大きくしなければなりません。よって、分子のAはなるべく小さい、3と9の最小公倍数である、9になります。また、分母のBはなるべく大きい、16と20の最大公約数である、4になります。よって、かけられる分数(A/B)は、9/4=2・1/4です。

【攻略ポイント2】

「基本問題 第12回 消去算の4」は、3種類の消去算の問題です。
(a)あんパン1個とメロンパン1個を買うと320円です。(b)あんパン1個とジャムパン1個を買うと270円です。(c)メロンパン1個とジャムパン1個を買うと330円です。この3通りの組み合わせをすべて合わせる(a+b+c)と、あんパン、メロンパン、ジャムパンを2個ずつ買うことになり、320+270+330=920円になります。3種類のパンを2個ずつ買うと920円になりますので、1個ずつ買うと、920÷2=460円になります。このうち、あんパンとジャムパンを1個ずつで、270円ですから、460-270=190より、メロンパン1個は、190円です。

【攻略ポイント3】

「基本問題 第13回 割合(1)の3」は、2段階にわたる割合の問題です。

  1. ケーキを作るのに、1.2㎏のさとうの3/8を使いますので、1.2㎏=1200gですから、1200×3/8=450より、さとうは450g使いました。
  2. さとうの残りは、1200-450=750gです。この750gの1/3を使ってプリンを作るのですから、さとうは750×1/3=250g使います。よって、750-250=500より、プリンを作った後に残っているさとうは、500gです。
【攻略ポイント4】

「基本問題 場合の数(1)の3」は、記号のならべえ方を考える問題です。
{○、○、△、△}の4つの記号を4つのマス目に1つずつ入れます。ただし、○と○はとなり合わないような入れ方を考えます。
マス目の左から入れていくことにして、1番目のマスに○を入れるパターンを(a)とします。2番目のマスには△しか入れられません。3番目のマスには、○か△が入れられます。○△○とすると、4番目のマスは△になりますので、○△○△となります。また、○△△とすると、4番目のマスは○しか残っていないので、○△△○となります。よって、(a)のならべ方は2通りあります。次に、1番目のマスに△を入れるパターンを(b)とします。2番目のマスには、○か△が入れられます。2番目のマスに○を入れると、3番目のマスは△になり、4番目のマスは、残りの○を入れることになって、△○△○となります。また、2番目のマスに△を入れると、残りは、○○になるので、ならべられません。よって、(b)のならべ方は1通りのみです。(a)のならべ方の2通りと(b)のならべ方の1通りを合わせて、全部で3通りです。
この問題は、樹形図を利用すると、より分かりやすくなります。

<算数 4年下 第16回>

第16回は『立方体と直方体(2)』です。立方体・直方体の形やそれぞれの面の形は、予習シリーズ4年上の第14回で学習しました。この学習内容をもとに、今回は、立方体・直方体の表面積や体積を学習します。

【攻略ポイント1】

まず、表面積について学習します。表面積とは、展開図(立体を辺にそって切り開いた図)の面積のことです。立方体の表面は同じ大きさの正方形6つでできています。よって,立方体の表面積=1辺×1辺×6 です。直方体の展開図を考えると、(たての長さ)×(横の長さ)の長方形、(横の長さ×高さの長さ)の長方形、(高さの長さ×たての長さ)の長方形が、それぞれ2つずつあります。よって、直方体の表面積=(たて×横+横×高さ+高さ×たて)×2 となります。

「必修例題1」は、直方体の表面積を求める問題です。
たて6cm、横10cm、高さ4cmの直方体ですので、(6×10+10×4+4×6)×2=248 より、表面積は248平方cmです。

「必修例題2」は,直方体から立方体を切り取った立体の表面積を求める問題です。
複雑に見える立体の場合、前後、上下、左右の6方向から見える面を考えると,考えやすくなります。
前から見ると、へこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、横9cmの長方形になり、後ろから見た形と同じです。上から見ると,同じくへこんでいる部分を合わせて、たて8cm,横9cmの長方形になり,下から見た形と同じです。右から見ると、同じくへこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、たて8cmの長方形になり、左から見た形と同じです。予習シリーズ122ページ必修例題2の解き方にある図を参照してください。
まとめると、立方体を切り取る前の、もとの直方体の表面積と同じになります。よって、(6×9+9×8+8×6)×2=348より,この立体の表面積は348平方cmです。

【攻略ポイント2】

体積について学習します。まず、たて、横、高さが、すべて1cmの立方体の体積を1立方cmとして、これをもとにして考えます。この1立方cmの立方体が、たて、横、高さの方向に、何個ずつ積んであるかで、立方体・直方体の体積が決まります。計算すると、たて、横、高さの長さのかけ算の答えと同じになりますので、結局、直方体の体積=(たての長さ)×(横の長さ)×(高さの長さ) で求めることができます。

「必修例題3」は,2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です。
それぞれの直方体の体積を求めて、合計します。手前の直方体は、たて4cm、横7cm、高さ(6-2=)4cmですから、体積は、4×7×4=112 より、112立方cmです。奥の直方体は、たて3cm、横12cm、高さ6cmですから、3×12×6=216 より、216立方cm です。よって、112+216=328 より、この立体の体積は、328立方cmとなります。

「必修例題4」も、2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です。
この問題は、底面積(たて×横)に高さをかけて体積を求める方法で解いてみましょう。予習シリーズ123ページ必修例題4の前にある考え方を参照してください。
横の長さ14cmを6cmと8cmのところで切り分けて、左右の底面積を求めます。左の直方体の底面積は、たて10cm、横6cmですから、10×6=60平方cmです。右の直方体の底面積は、たて10-7=3cm、横14-6=8cmですから、3×8=24平方cmです。高さは、左右のどちらの直方体も8cmですから、(60+24)×8=672より、体積は、675立方cmです。

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