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＜算数　5年上　第10回＞

　第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

【攻略ポイント1】

　「基本問題 第6回・円(2)の第3問」は、円に関連したまわりの長さや面積の問題です。
(1) 頂点Bを中心とする四分円の半径をa cm、頂点Cを中心とする四分円の半径をb cmとします。頂点Dを中心とする四分円の半径は2cmです。aとbの和は、辺BCの長さですから、a＋b＝10cmです。また、aとbの差は、長方形のたての長さを考えると（AB=CD=aより）、a－b＝2cmです。和差算の考えにより、aの長さは、(10＋2)÷2＝6cmとわかります。また、bの長さは、10－6＝4cmです。かげの部分のまわりの長さは、3つの四分円の弧の長さと、辺AD上の直線の長さの合計です。 (6＋4＋2)×2×3.14÷4＋(10－2)＝6×3.14＋8＝18.84＋8＝26.84より、かげの部分のまわりの長さは、26.84cmです。
なお、まわりの長さを求める問題では、鉛筆やシャープペンでまわりをなぞることをお勧めします。まわりをなぞることで、まわりの長さにはどの部分が含まれるかがミス無くわかります。弧の長さに気が向いて、半径などの直線部分を入れないミスが多くありますので気をつけましょう。また、この問題の前の第2問でも、まわりをなぞることで、つながる部分が判断できて、計算がまとまります。
(2) 長方形の面積から3つの四分円の面積を引いて求めます。長方形の面積は、6×10＝60平方cmです。3つの四分円の面積の合計は、(6×6＋4×4＋2×2)×3.14÷4＝14×3.14＝43.96平方cmです。この計算式のように、円周率の入った計算では、できる限り3.14を最後に計算することを心がけましょう。よって、60－43.96＝16.04より、かげの部分の面積は、16.04平方cmです。

【攻略ポイント2】

　「練習問題の第2問」は食塩水の問題です。なお、分数は分子/分母の形で表します。6％の食塩水120ｇに含まれる食塩の重さは、120×6/100＝7.2ｇです。15％の食塩水240ｇに含まれる食塩の重さは、240×15/100＝36ｇです。2種類の食塩水を混ぜると、食塩の重さは7.2＋36＝43.2ｇになり、食塩水の重さは120＋240＝360ｇになります。よって、43.2÷360×100＝12より、食塩水Aの濃さは、12％です。
(1) 食塩水のうち何ｇを捨てても、同じ重さの水を加えますから、最後の食塩水の重さは、初めの食塩水の重さと同じ360ｇです。また、濃さが8％になりましたので、360×8/100＝28.8より、食塩の重さは28.8ｇになりました。7.2＋36－28.8＝14.4ｇの食塩が捨てた食塩水に含まれていたことになります。濃さは12％でしたから、整頓すると、□×12/100＝14.4となります。よって、□＝14.4÷12/100＝120より、捨てた食塩水Aは120ｇとわかります。このような食塩水の問題では、過程をしっかり式にできるように、練習を重ねましょう。

【攻略ポイント3】

　　「練習問題の第4問」は、売買損益の問題です。利益＝売価(売った値段)－原価(仕入れた値段)です。求めるものは仕入れ値ですが、定価から求める流れで進めましょう。
(1) 定価の3割5分引きで売るとは、割合にして定価の1－0.35＝0.65で売ることになり、同様に定価の4割引きで売るとは、定価の0.6で売るということです。原価はどちらの場合も同じですから、利益の差は、定価の0.65と0.6の差ということになります(ここが、ポイントです)。よって、(130－20)÷(0.65－0.6)＝110÷0.05＝2200より、定価は2200円です。ここで、定価の0.65で売ると130円の利益になりますから、2200×0.65－130＝1430－130＝1300より、原価(仕入れ値)は、1300円です。
(2) 仕入れた個数80個をすべて定価で売ると、(2200－1300)×80＝72000円の利益になりますが、実際の利益は56600円です。この差の72000－56600＝15400円は、定価の2割引きによって、利益が減少したものです。定価の2割は、2200×0.2＝440円ですから、15400÷440＝35より、35個は値引きして売ったことがわかります。よって、80－35＝45より、定価で売ったのは45個です。この問題は、つるかめ算です。

【攻略ポイント4】

　「練習問題の第5問」は差集め算の問題です。個数と代金どちらも値が異なるところが複雑ですので、個数をそろえて考える方針で進めます。
　文字を使って整頓します。チョコレートをA個買ったとすると、アメは(A＋6)個買ったことになります。また、アメの代金をP円とすると、チョコレートの代金は(P＋150)円となります。式にすると、アメは20円×(A＋6)＝P円、チョコレートは50円×A＝(P＋150)円となります。買った個数をチョコレートのA個にそろえると、アメの代金は、6個分安くなりますから、(P－20×6)円、つまり(P－120)円となります。個数の差と代金の差の関係をわかりやすくするためには、アメの20円×A＝(P－120)円と、チョコレートの50円×A＝(P＋150)円、という2つの式を縦に並べてかくとよいでしょう。アメとチョコレート1個ずつの値段の差(1つ分の差)は50－20＝30円で、代金の差(全体の差)は、120＋150＝270円です。　　
よって、A＝270÷30＝9より、買ったチョコレートの個数は、9個と求められます。

＜算数　5年上　第11回＞

  第11回は『柱体とすい体』です。底面の形が円や三角形、四角形、などで、太さの変わらない柱のような立体である円柱、三角柱、四角柱などを柱体といいます。また、同じく底面の形が円や三角形、四角形、などで、上にのびるにつれて細くなり、最終的に点になる立体である円すい、三角すい、四角すいなどをすい体といいます。これらの立体の体積や表面積を学習します。予習シリーズの99ページ、101ページ、102ページにある、公式の説明を理解しましょう。なお、分数は、分子/分数の形で表します。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、角柱の体積、表面積を求める問題です。
台形の部分を底面とすることにより、太さの変わらない角柱として考えることがポイントになります。体積も表面積も、計算に底面積を使用するので、まず、底面積である台形の面積を求めておきます。(5＋8)×4÷2＝26より、台形の面積は26平方cmです。
(1) 角柱の体積を求める公式は、[底面積×高さ]です。高さは6cmですから、26×6＝156より、この立体の体積は、156立方cmです。
(2) 角柱の表面積を求める公式は、[底面積×2＋側面積]です。角柱の側面積は、展開図から考えると、底面1周の長さを横の長さとし、角柱の高さをたての長さとする長方形になります。ですから角柱の側面積は、[底面1周の長さ×高さ]ということになります。底面1周の長さは、4＋8＋5＋5＝22cmですから、角柱の側面積は、22×6＝132平方cmです。よって、底面積である台形の面積が2つと側面積を合計して、26×2＋132＝184より、この立体の表面積は184平方cmです。

　「必修例題2」は、円柱の体積、表面積を考える問題です。
柱体は、円柱も角柱も体積、表面積の求め方は同じです。まず、底面積である円の面積を求めます。底面積は、4×4×3.14＝(16×3.14)平方cmです。3.14のついた数量は、3.14をまとめてから計算しますので、(16×3.14)のままにしておきます。
(1) 高さは6cmですから、16×3.14×6＝96×3.14＝301.44より、この円柱の体積は、301.44
立方cmです。
(2) 側面積は、[円周の長さ×高さ]です。高さは6cmですから、側面積は、4×2×3.14×6＝(48×3.14)平方cmです。よって、(16×3.14)×2＋(48×3.14)＝(32＋48)×3.14＝80×3.14＝251.2より、この円柱の表面積は、251.2平方cmです。

【攻略ポイント2】

　「必修例題3」は、展開図から、組み立ててできる立体の体積を求める問題です。
辺の長さに注目して組み立てると、組み立てた立体は三角すいとなります。すい体の体積を求める公式は、[底面積×高さ×1/3]です。1/3をかける前の計算は、円柱や角柱である柱体の体積計算と同じです。つまり、同じ大きさの底面と、同じ高さをもつ柱体の体積を、1/3倍すると、円すいや角すいであるすい体の体積になります。
　問題を解きます。底面は、底辺が6cm、高さが9cmの三角形ですから、底面積は6×9÷2＝27平方cmです。高さは底面から頂点まで垂直にはかった長さですので、6cmです。よって、27×6×1/3＝54より、この立体(三角すい)の体積は、54立方cmです。すい体の体積を求める際には、高さがどの長さになるかに、よく注意してください。

　「必修例題4」は、円すいの展開図において、母線(＝側面のおうぎ形の半径)の長さ、円すいの表面積を考える問題です。
　問題に入る前に、重要なことを説明します。予習シリーズ102ページの解説を参考してください。
展開図を組み立てると、底面である円の円周（aとする）と、側面であるおうぎ形の弧の長さ（bとする）は重なりますので、同じ長さです。つまり、a＝底面半径×2×3.14と、b＝母線×2×3.14×(中心角/360) は等しくなります。a、bのどちらにも使われている(2×3.14)をなくしても、等しくなりますので、底面半径＝母線×(中心角/360)です。このことから、[底面半径/母線＝中心角/360]や[底面半径/母線×360＝中心角]という関係が成り立ちます。

　また、側面であるおうぎ形(半径は、母線という言葉を使います)の面積ですが、母線×母線×3.14×(中心角/360)という計算になりますが、上記の関係を考えて、この式は、母線×母線×3.14×(底面半径/母線)となり、母線どうしが約分できますので、結果として、[側面積＝母線×底面半径×3.14]という公式ができます。ここに記した関係（公式）は、大切ですので、しっかり理解してください
(1) 母線の長さを□cmとして、底面の半径は5cmですから、5/□＝120/360となります。120/360＝1/3＝5/15です(5/□の分子5にそろえました)。よって、□＝15になりますので、母線の長さは15cmです。
(2) 円すいの表面積は、[底面積＋側面積]です。底面積は円ですから、5×5×3.14＝(25×3.14)平方cmです。側面積は、公式により、15×5×3.14＝(75×3.14)平方cmです。よって、(25＋75)×3.14＝100×3.14＝314より、円すいの表面積は、314平方cmです。

　まずは、公式をしっかり使えるようトレーニングしてください。

＜算数　4年上　第10回　＞

第10回は『総合』です。基本問題において、第6回から第9回までの基本が理解できているか、確認しましょう。

【攻略ポイント1】

　「練習問題の第1問」は、植木算の問題です。
(1) 最初に立てたくいと最後に立てたくいの間の距離は、立てたくいをたどっていくと、420－80＝340mとなります。よって、間の数は、340÷10＝34です。両はしのくいを入れますから、34＋1＝35より、くいの本数は35本です。
(2) 池のまわりにくいを立てますので、間の数＝くいの本数となります。420÷35＝12より、12mおきに立てればよいことになります。

【攻略ポイント2】

　「練習問題の第3問」は、小数や分数の問題です。分数は、分子/分母の形で表します。
(1) 3/5mは、1mの3/5ということです。1m＝100cmで、3/5は、5等分したうちの3つ分ということです。よって、100÷5×3＝60より、Aさんが取ったリボンは60cmです。
(2) はじめのリボンの長さは1.5m＝150cmであるため、Aさんが取った残りのリボンの長さは、150－60＝90cmです。90cmの5/6より0.5cm短い長さは、90÷6×5－0.5＝75－0.5＝74.5となりますので、Bさんは、74.5cmの長さのリボンを取りました。よって、90－74.5＝15.5より、リボンは15.5cm残りました。

【攻略ポイント3】

　「練習問題の第4問」は、正方形や長方形の、まわりの長さと面積についての問題です。一見複雑ですが、問題文の冒頭「まわりの長さが等しい」を利用することで、一気に解きやすくなります。
　正方形のまわりの長さは、12×4＝48cmで、長方形のまわりの長さもおなじです。長方形のたての長さ＋横の長さは、48÷2＝24cmで、たての長さは9cmですから、24－9＝15より、横の長さが15cmとなることを確認して、問題を解き進めて行きましょう。
(1) 辺EHに注目すると、重なった部分の正方形の1辺の長さは、15－8＝7cmとわかります。よって、7×7＝49より、面積は49平方cmです。
(2) 問題の図形を、頂点AとGを通る大きな長方形でかこみます。こうしてできた大きい長方形のまわりの長さは、問題の図形のまわりの長さと等しくなります。解答解説の冊子26ページにある図を参照してください。この大きい長方形のたての長さは、重なった正方形の長さを考えると、12－7＋9＝14cmです。また、横の長さは、12＋8＝20cmです。よって、(14＋20)×2＝68より、この図形のまわりの長さは68cmです。

＜算数　4年上　第11回　＞

　第11回は『大きな数とおよその数』です。整数の万の位より大きい位を学習します。また、数の範囲を表す、以上、以下、未満という用語を学習し、同時にこれらの用語を使ったおよその数(がい数)についても学習します。

【攻略ポイント1】

　「必修例題1」は、整数の位についての学習です。整数の位は、一の位、十の位、百の位、千の位、万の位がありますが、その上は、1万倍ごとに、億の位、兆の位と続きます(その後も位を表す言葉は続きますが、小学校で学習するのは、兆の位までです)。まとめますと、一、十、百、千、に続いて、一万、十万、百万、千万、となり、その後は、一、十、百、千(小の位と名付けておきます)の後に億や兆(大の位と名付けておきます)を付けて、一億、十億、百億、千億、一兆、十兆、百兆、千兆となります。
(1) 問題の数を右から4けたごとにたて線で区切っておくと、わかりやすくなります。一億の位は、右から、9つ目ですから、数字は「8」です。
(2) 4けたごとに区切った組を考えると、4組目は(75)で、(大の位の)兆となります。よって、七十五兆です。このように、各組を小の位で読んで、組の終わりに大の位を順に付けて読みます。以下、(0268)に億の位を付け、(1205)に万を付け、最後は(3007)です。よって、「七十五兆二百六十八億千二百五万三千七」です。
(3) 数は、位にある数字が等しければ、右から左に1けた動くと10倍になり、2けた動くと10×10＝100倍になり、3けた動くと10×10×10＝1000倍になります。以下同じ仕組みです。右の「2」から、左の「2」へ4けた動いていますので、10×10×10×10＝10000より、左の「2」が表す数の大きさは右の「2」が表す数の大きさの一万倍です。

【攻略ポイント2】

　「必修例題2」は、以上、以下、未満という用語の内容を考える問題です。
例えば、5以上とは、5の数を入れて5より上の大きい数を範囲とする用語です。また、5以下とは、5の数を入れて5より下の小さい数を範囲とする用語です。これらに対して、5未満とは、5の数を入れずに5より小さい数を範囲とする用語です。この未満は、小数を考える場合によく使われます。つまり、5未満とは、4以下のことではなく、5より少しでも小さい数を表しますので、4.999……から小さい数全体を範囲とします。
15までの奇数で考えます。
(1) 10以上の数は、11、13、15の3個です。
(2) 9以下の数は、9を入れて、9、7、5、3、1の5個です。
(3) 5未満の数は、5は入れずに、3、1の2個です。

　「必修例題3」は、範囲を考える問題です。
　5日目に読んだページ数が不明ですが、少なくとも1ページはあり、最大でも12ページであることに注意しましょう。4日目までに、12×4＝48より、48ページは読んでいますから、合計のページ数は、48＋1＝49、48＋12＝60より、この本のページ数は、49ページ以上60ページ以下です。

【攻略ポイント3】

　「必修例題4」は、およその数を作る3つの方法を考える問題です。
「およその数」とは、きりのよい数にすることで、例えば、1295人を、「およそ1300人」と表すことです。「数をまるめる」という言い方もあります。この数の場合、95人というはんぱな数を100人として増やす方法を、[切り上げ]といい、0人として無くす方法を、「切り捨て」といいます。もう1つ、真ん中の50人を基準にして、50人以上の場合は100人として切り上げ、50人に満たない(未満の)場合は0人として切り捨てる方法があります。この方法を、「四捨五入」といいます。
　鹿児島県の人口、1706428人を万人の位までのおよその数にします。この場合、万の位のひとつ下の千の位以下の数(6428人)が問題になります。
「切り捨て」の場合は、千の位以下に数があっても、0人としますので、170万人です。
「切り上げ」の場合は、千の位以下に1人でもあれば、1万人としますので、171万人です。
「四捨五入」の場合は、千の位の数字で切り捨てか、切り上げを決めます。千の位の数字は6で、5以上ですから、切り上げます。よって、171万人です。

　数の位の仕組みを理解しましょう。また、以上、以下、未満の用語をきちんと覚え、およその数の求め方をマスターしましょう。

　われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に１００％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。