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No.844 100分で偏差値を5上げる!早稲アカ・四谷大塚5年11/10・4年11/9組分けテストの戦い方

  5年生は「平面図形と比」「速さと比」といった入試再頻出の単元がいよいよ登場です!どこでどのように比を使えば正解の糸口がつかめるのか、それをつかめるかどうかが勝負の分かれ道です。4年生も方陣算や倍数算といった、図を使って解く問題が出てきました。ここでしっかり手を動かし、図をかけるようになっておけば、5年生以降の算数攻略の足場固めができます!
 重要単元目白押しの組分けテスト!そこで今回は、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、5年生は第5位から第1位まで、4年生は第3位から第1位までのランキングのかたちにまとめました。ぜひクラスアップを実現してください!応援しています!
 さらに、このメルマガの5年生のランキングは明日公開の予想問題と連動しています。ランキングで紹介する攻略ポイントと予想問題を合わせれば、盤石の構えでテストに臨めます。予想問題はこちらのページで無料公開します!

《5年 第7回組分けテスト》

【第5位 直角三角形の相似:角度の大きさから相似を見つけられていますか?】

 予習シリーズ5年下第4回で相似には大きく「ピラミッド型」と「クロス型」の2つのタイプがあることを学習しました。相似のほとんどがこの2つのタイプの相似ですが、次の問題のように「直角三角形を直角三角形に分ける」と相似になることが多いです。相似になる理由は、「2組の角がそれぞれ等しい」という三角形の相似条件によるものです。

 「図1のように直角三角形ABCの中に、1辺の長さが9cnと12cmの2つの正方形がかかれています。このとき、直角三角形ABCの面積は何平方cmですか。」


         

という問題を考えてみましょう。

  

 三角形ABCと三角形APQと三角形PRSは相似になっている(※1)ので三角形の辺の比がそれぞれ等しくなります。PS:RS=(12-9):9=1:3より、AQ:PQ=AC:BC=1:3となります(図2)。よってAQ=12÷3=4(cm)、AC=4+12=16(cm)、BC=16×3=48(cm)となります。したがって直角三角形ABCの面積は 48×16÷2=384(平方cm)と求まります。
 相似な三角形に関する問題での比の使い方は、「小さい三角形と大きい三角形の相似の比」と「1つの三角形の中での辺の比」という2つの考え方ができます。シリーズ5年下第4回で学習したのが前者で、今回の問題が後者になります。どちらも重要な考え方ですのでぜひ身につけておきましょう。
※1 三角形ABCと三角形PRSは、角ABC=角PRS(同位角)、角ACB=角PSR=90度で2組の角がそれぞれ等しくなっているので相似になります。三角形ABCと三角形APQでも同様です。

【第4位 速さのつるかめ算:比の値で表された速さを使って式が立てられていますか?】

 「速さのつるかめ算」の考え方をもとに、速さの比を使って解いていく問題です。「速さのつるかめ算」は予習シリーズ5年上第16回で学習した内容です。忘れている場合は、そちらの確認から始めましょう。

「A君は家から駅まで歩いて行くと30分、走って行くと12分かかります。A君は家から駅まで、はじめは走り、途中から歩いて合わせて15分で行くことができました。走った時間は何分間ですか。」

という問題を考えてみましょう。

  まず速さの比を求めます。「道のりが一定のとき、速さの比と時間の比は逆比」という関係があるので、時間の比が 歩:走=30:12=5:2 ですから、速さの比は 歩:走=2:5となります。

 次に家から駅までの道のりを速さの比を使って決めます。歩く速さをマル2とすると、道のりは マル2×30=マル60 と決めることができます。
 最後につるかめ算を使って走った時間を求めます。走る速さをマル5とすると(マル60-マル2×15)÷(マル5-マル2)=10(分間)と求まります。
 比を使った「速さのつるかめ算」の典型的な問題でした。組分けテストに限らず、入試問題でよく出題されていますのでしっかり練習して確実に身につけましょう。

【第3位 最小公倍数の利用:表を使って問題内容を整理できていますか?】

  次の問題を考えてみましょう。

 「3の倍数と4の倍数を小さい順に並べると、下のようになります。
   3、4、6、8、9、12、15、16、18、………
このとき、111はこの数列の何番目の数ですか。また、この数列の100番目の数はいくつですか。」

 この問題は表を作るとかなり解き易くなります。まず、1から12までの数字を横一列にかきます。次に13を1の下、14を2の下、と順番にかいていくと、24が12の下になります。同じように25を13の下、26を14の下、と36までかきます。表の中の3の倍数と4の倍数に印を付けると、印が縦に並んでいることに気付くと思います。これを利用して求めていきます。
 111がこの表のどこに並ぶのかを考えます。111÷12=9あまり3 なので左から3番目の列だとわかります。1から12までを1周期と考えると、この中に数列の数字は{3、4、6、8、9、12}の6個あり、111は左から3番目の列なので、最後の周期では数列の数字は111の1個しかないことがわかります。したがって111は、6×9+1=55(番目)と求まります。
 次に100番目の数を考えます。数列の数字は1周期に6個あるので、100÷6=16あまり4となります。ここでの注意は「あまりの4」です。先程かいた表の1周期目を見てみましょう。印の付いた数字の4番目は8です。つまり「あまり4」ですが数字は8個あることがわかります。したがって、100番目の数は 12×16+8=200となります。
 今回は表を3周期目までかきましたが、実際には1周期かけば十分です。これをかくだけで式の意味がかなり分かり易くなります。ミスを防ぐ意味でも必ず表をかくようにしましょう。

【第2位 図形の折り返し:同じ長さや角の大きさがどこに移動するかを把握しましょう!】

 第5位でも取り上げましたが、このパターンも相似の典型的な問題です。折り返したときにも相似ができ易いという事をしっかり覚えておきましょう。

 「1辺の長さが24cmの正方形ABCDがあります。辺AB上にBE=9cmとなる点E、辺CD上に点Fをとり、この正方形を直線EFで折ると、頂点Aが辺BCのちょうど真ん中にきました。図1のように折り返した後の図形で辺ADと辺FCの交点をGとするとき、四角形EAGFの面積は何平方cmですか。」

今回の問題も「2組の角がそれぞれ等しい」という三角形の相似条件を使って解いていきます。


 
 

三角形EBAと三角形ACGと三角形FDGは相似(※2)になります。
 三角形EBAの辺の比は、EB:BA:AE=9:(24÷2):(24-9)=3:4:5となっているので、AC:CG:GA=FD:DG;GF=3:4:5 (図2)となります。これを利用して長さを求めると、AG=(24-12)×5/3=20(cm)、DG=24-20=4(cm)、FD=4×3/4=3(cm) となります。したがって四角形EAGFの面積は、(3+15)×24÷2-3×4÷2=210(平方cm)と求まります。
 平面図形の問題では図が不正確な場合も多いです。相似を考えるときは辺や角度に印を付け対応関係を間違えないようにしましょう。
※2 角BEA=〇、角EAB=×とすると、三角形EBAの内角の和から 〇+×+90=180 となります。また1直線は180度なので、角CAG=180-(90+×)=〇 となり角BEA=角CAGとわかります。三角形ACGの内角の和から 角CGA=180-(90+〇)=×、対頂角は等しいので、角DGF=×となります。以上より2組の角がそれぞれ等しいので、三角形EBAと三角形ACGと三角形FDGは相似になっています。

【第1位 往復の旅人算と比:2回目に出会うまでの道のりの求め方がポイントです!】

 予習シリーズ5年上第19回で学習した「往復の旅人算」で比を使った典型的な問題です。旅人算の考え方を忘れていると手も足も出ないので、その場合は予習シリーズ5年上第18回、第19回の復習から始めましょう。
次の問題を考えてみましょう。

 「太郎君はA地を、花子さんはB地を同時に出発し、一定の速さで両地点の間を休まずに1往復しました。1回目に出会った場所は、A地とB地の真ん中の地点より120mだけB地によった場所でした。太郎君と花子さんの速さの比が5:3であるとき、2回目に出会った場所はA地から何m離れていますか。」

 進行図に状況を整理しながら考えましょう。A地とB地の真ん中をM地点、1回目に出会った場所をC地点として図をかきます。「時間が一定のとき、道のりの比と速さの比は等しい」のでAC:CB=5:3 となります。ACの道のりをマル5、CBの道のりをマル3とすると、AB=マル5+マル3=マル8、AM=マル8÷2=マル4、MC=マル5-マル4=マル1 となり、マル1=120mとわかります。
 次に2回目に出会ったときを考えます。2回目に出会った場所をD地点として、もう1つ進行図をかいてみましょう。太郎君はB地を、花子さんはA地を折り返してD地点で出会った図になります。ここで1つ目の進行図と見比べてください。1つ目の進行図は太郎君と花子さんの2人でAB間1本分の道のりを移動しているのに対し、2つ目の進行図は太郎君と花子さんの2人でAB間3本分の道のりを移動しています。このことから、3倍の時間がかかっていることがわかります。したがって花子さんがB→A→Dと移動した道のりは マル3×3=マル9 となり、AB=マル8よりAD=マル9-マル8=マル1となります。マル1=120mだったので答えは120mと求まります。
 往復の旅人算でN回目に出会う問題は数多く出題されているので、練習する機会も多いと思います。それだけに何度も繰り返して完全にマスターできるよう頑張りましょう。

【番外編 第1回から第4回の復習:縮尺の解き方を忘れていませんか?】

 点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。
 ・第1回 比の積・比の商、連比
 ・第2回 比例式、逆比、倍数算
 ・第3回 高さが等しい図形の面積比
 ・第4回 相似、縮尺

《4年 第7回組分けテスト》

【第3位 分数:約分・通分がスムーズできているかどうかをチェックしましょう!】

 分数では「約分」と「通分」がしっかりとできることが重要です。まだ約分できる分数を見て、気付けるかどうかは訓練次第です。毎日計算などを繰り返して練習しましょう。

 「1/4より大きく4/5より小さい分母が20の分数を考えます。これらの分数のうち、これ以上約分できない分数の和はいくつですか。」

 という問題を考えます。
 分母を20にそろえると、1/4=5/20より大きく4/5=16/20より小さい分数だとわかります。分子が偶数だと約分できてしまうので、5より大きく16より小さい奇数を調べます。その結果 7、9、11、13、15 となりますが、15だと約分できてしまいます。
 したがって求める分数の和は、7/20+9/20+11/20+13/20=2 と求まります。
 分母がわかっているときは分母を、分子がわかっているときは分子をそろえるのがポイントになります。一方がそろってしまえば、もう一方だけを考えれば済むからです。繰り返しになりますが、約分・通分がスムーズにできるようになるまで練習しましょう。

【第2位 方陣算:重なりに気付くように、図をかいて練習を重ねましょう!】

 方陣算のポイントは「重ならないように同じ形に分ける」というところです。簡単な図をかくだけでミスが減らせます。必ずかくようにしましょう。 

「碁石をぎっしりと並べて正六角形の形を作りました。一番外側のひとまわりに60個の碁石が並んでいるとき、一番外側の1辺には何個の碁石が並んでいますか。また、全部で何個の碁石を並べましたか。」

という問題を考えてみましょう。
 小さい形で練習してみましょう。一番外側の1辺に4個の碁石が並んでいる正六角形をかきます。すると一番外側のひとまわりに並んだ碁石の数が、4×6=24(個)ではないことに気が付くと思います。これは正六角形の頂点にあたる碁石を2回数えてしまっているためです。「重ならないように同じ形に分ける」ように考えると、1辺を4-1=3(個)とすると上手く分けられます。また全体の個数ですが、今分けた3個を1辺とする正三角形6つと中心の1個の合計だとわかります。
 以上の事を考えて問題を解いていくと、一番外側の1辺は 60÷6=10、10+1=11(個)と求まります。また、全部の個数は 1+(1+10)×10÷2×6=331(個)と求まります。
正三角形の部分の碁石の個数を求めるのに等差数列の和を求める公式を使っています。等差数列の公式は「規則性」や「数の性質」の単元でこれからも必要になります。公式や公式の使い方がわからない場合は予習シリーズ4年上第16回を復習しまして必ず身につけましょう。 

【第1位 倍数算:最後の最後に何を求めるか、気を抜かずに解きましょう!】

 次の問題を考えてみましょう。

 「兄は4000円、弟は2800円持っていました。2人は同じ金額を出し合ってサッカーボールを1個買いました。兄の残金が弟の残金の5倍より200円多いとき、サッカーボールの値段は何円ですか。」

 線分図に条件をまとめます。このとき、「同じものがあるときは線分図の左側にそろえる」ということを意識するとまとめやすいです。
 弟の残金をマル1とすると兄の残金はマル5+200 になります。これを線分図にかきこんでみると、マル4=(4000-2800)-200=1000、マル1=250(円)となります。したがってサッカーボールの値段は (2800-250)×2=5100(円)と求まります。
 このパターンの問題では、「1人が同じものを1個ずつ買う」場合と「2人でお金を出し合って1個のものを買う」場合があります。最後の最後に2倍するかどうかの違いしかありません。問題文をよく読んで最後まで気を抜かずに解きましょう。

【番外編 第1回から第4回の復習:最小公倍数の求め方は覚えられていますか?】

 点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。
 ・第1回 約数・公約数、素数
 ・第2回 倍数・公倍数
 ・第3回 図や表へのまとめ方、投票の問題
 ・第4回 円と正多角形

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