No.866 100分で偏差値を5上げる!サピックス5年生1月13日(月)組分けテストの戦い方

 組分けテストで偏差値アップを実現するポイントは、テスト前半の小問集合で失点を最小限にとどめることです!速さのグラフの見方、平面図形での補助線の引き方、そして分数、小数を含めた数に関する問題などの基本問題で、わかったつもりのままの曖昧な理解をなくすことを目標に、徹底的に復習を進める。それが偏差値をアップさせるかどうかの分かれ目になります。基本問題をいかに確実に得点するかを中心に説明していきます。ぜひ偏差値アップ、クラスアップを実現してください。応援しています!
 さらに、このメルマガは明日公開の予想問題と連動しています。これから紹介するランキングと予想問題を照らし合わせれば、偏差値を別次元のランクにまで上げることができます!頑張ってください!
予想問題はこちらのページで無料公開します!

【第5位 点の移動:点は必ずしも辺の上を動くとは限りません!】

 点の移動では、三角形や四角形の辺の上を点が動く問題を、これまで多く解いてきましたが、問題の難度が上がると、点は辺の上を動くとは限らなくなります。例えば次のような対角線上を点が動く問題に対応できているかどうかチェックしてみてください。

「下の図で、ADとBCが平行である台形ABCDの面積は64平方mです。AD:BC=3:5、対角線の交点をEとすると、AE:CE=1:3となります。点PはEを出発して、EB上をE→Bと動きます。三角形CEPの面積が10平方cmとなるときの、EP:BPの長さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。」

 一見複雑そうな問題ですが、面積比の基本的な考え方を使えば、決して難しくはありません。
 最初のポイントは、三角形ABCと三角形ACDの面積比がすぐに答えられるかどうかです。ADとBCが平行ですので、三角形ABCと三角形ACDは高さが同じと考えられます。そこで、面積比はそれぞれの三角形の底辺の長さの比と等しくなります。台形を使った面積比の問題では、このパターンが頻出ですので、しっかりおさえておきましょう。三角形ABCの面積:三角形ACDの面積=BC:AD=5:3となります。ここで三角形ABCの面積が64÷(3+5)×5=40(平方cm)と求められます。
 同じように、三角形ABEと三角形CBEはAE、CEを底辺とすれば高さが同じですので、三角形ABEの面積:三角形CBEの面積=AE:CE=1:3となり、三角形CBEの面積が、40÷(1+3)×3=30(平方cm)となります。
 最後はこれまでの作業と逆の進め方ですが、基本的な考え方は同じです。三角形CEPの面積:三角形CBPの面積=EP:BPで、三角形CEPの面積が10平方cmであることから、EP:BP=10:(30-10)=10:20=1:2と、答えに行き着くことができます。
 このように、点の移動の問題では、面積比の基本を活用するケースがとても多くあります。この後にも面積比についての説明がありますが、面積比の基本が曖昧な場合には、デイリーを戻って復習をしてください。

【第4位 面積比:問題を解くために有効な補助線を引けていますか?】

 平面図形の問題の中で次のような問題に対応するためには、有効な補助線が必要です。

「下の図のような三角形ABCがあります。点D、Eは辺ABを3等分する点で、点Fは辺ACを2等分する点です。斜線をつけた部分の面積が20平方cmのとき、三角形ABCの面積は何平方cmですか。」

 ポイントは面積比をいかにして辺の比に置き換えるかです。ここでも第5位の問題と同じく、「高さが同じ三角形の面積比は底辺比と等しい」ことを利用します。その目的で補助線を引くのです。
 この問題では、点Cと点E、または点Bと点Fを結ぶ補助線を引く方法があります。どちらでも構いませんが、予想問題では点Cと点Eを結ぶかたちで進めていますので、こちらでは点Bと点Fを結ぶこととします。
 右の図のように補助線が入ることで、面積比を底辺比で表せる図形がハッキリと見えてきました。三角形BEFと三角形DEF、三角形ADFはすべて高さが同じですので、その面積比はBE:DE:AE=1:1:1となります。そこで斜線の入った三角形DEFの面積をマル1としましょう。すると三角形BEF、三角形ADFともにマル1なので、三角形ABFの面積はマル3となります。
 そこで視点を切り替えます。三角形ABFと高さを同じにする三角形はないか…すぐとなりに三角形BCFがありますね。この2つの三角形の面積比は底辺比のAF:CF=1:1となり、三角形BCFの面積もマル3として表すことができます。よって、三角形ABCの面積はマル3+マル3=マル6となり、マル1が20平方cmなので、マル6は20×6=120より、三角形ABCの面積が120平方cmと求められます。
ポイントはあくまで面積比を辺の長さの比から求めることですが、1本の補助線を引くだけで、その解法を使いこなすことができます。補助線の引き方に注意して復習を進めましょう。

【第3位 相似:比を使えば、複雑な計算を回避することができます!】

 平面図形で円やおうぎ形の問題では、比が使えないかどうか、まず確かめてみましょう。3.14計算をできるだけ少なくすることが、問題を解くスピードアップ、正確さのアップにつながります。そのためには比の活用がとても有効なのです。
例えば次のような問題。

「下の図は、半径18cm、中心角90度のおうぎ形の、半径を3等分、中心角を3等分した図形です。斜線部分の面積の合計は何平方cmですか。」

 一見すると、斜線部分を動かしてシンプルなおうぎ形に変形する等積移動の問題のようですが、実はうまくシンプルな図形には変形できないのです(パズルで言うピースの数が合わないです)。それではどうするか…ここでまた比が登場します。まず前提として、中心角30度のおうぎ形どうしは相似になることをとらえておきましょう。相似というと三角形や四角形などで見られることが多いですが、円やおうぎ形でも相似の関係は成り立ちます。その理解が曖昧にならないように注意してください。
 右の図で表したように、最も小さなおうぎ形の面積をマル1とすると、2番目の大きさのおうぎ形の面積がマル4となるため、その間の部分はマル4-マル1=マル3、同様にして、最も外側の図形はマル9-マル4=マル5と表すことができます。斜線部分の合計はマル3×2+マル5=マル11となります。
マル1の面積は6×6×3.14×30/360=9.42(平方cm)なので、求める面積は、9.42×11=103.62(平方cm)です。
 最後の小数計算こそ少し手間取りますが、個々の部分の面積を求めるよりは断然計算が楽ですし、間違える可能性も激減します。円やおうぎ形でも相似を使えることをどうか確認しておいてください。

【第2位 速さとグラフ:速さを範囲で答えさせる問題に対応できていますか?】

 単元を問わず、小学生のお子様方は答えに範囲や幅がある問題を苦手とすることが多いです。例えば「何個以上、何個未満で答えなさい」や「あてはまる分数をすべて答えなさい」といったタイプの問題です。答えがひとつに定まらない気持ちの悪さが苦手意識に結びついてしまっているのでしょう。
速さの問題でも答えに幅(範囲)があるかたちで答えさせるものがあります。例えば次のような問題。

「P君が家から2.8㎞離れた図書館に向う様子を表したのが下のグラフです。P君は午前8時に家を出て、毎分80mの速さで公園まで行き、公園で10分間休んでから、また同じ速さで図書館に向います。Qさんは午前8時5分に図書館を出て自転車で公園に向います。Qさんが公園でP君と会うためには、Qさんは毎分何m以上、何m以下の速さで進む必要があるでしょう。」

 速さのグラフの基本として、グラフの傾きが急なほど速度は速く、傾きがなだらかなほど遅いことはまずおさえておきましょう。それが右上がりのグラフであればすぐにわかるけれど、右下がりのグラフになると一気にわかりづらくなることはないでしょうか。グラフが上向きか下向きかに関わらず、速いか遅いかの判断はグラフの傾きでできることを確認しましょう。
 あとはP君の動きを表したグラフに、Qさんの動きをかき入れてみれば、一気に解決に向えます。
 上の図の赤線でかいたグラフはQさんが最も早い時間にP君に会える状況、つまりQさんの速度が最も速い状況です。一方、青線でかいたグラフはQさんが最も遅い時間にP君に会える状況、つまりQさんの速度が最も遅い状況です。ここではわかりやすいように色を使っていますが、テストでは色ペンはもちろん使えませんので、太線と点線などで使い分けてください。
あとはグラフで示された情報を確実に使いこなせば、式を立てることは難しくありません。
8時45分-8時25分=20分
・・・P君が公園から図書館までにかかった時間
80(m/分)×20分=1600m
・・・公園から図書館までの距離
1600m÷(15-5)分=160(m/分)
・・・Qさんの最も速い速度
1600m÷(25-5)分=80(m/分)
・・・Qさんの最も遅い速度
よって答えは、毎分80m以上160m以下と求められます。
 答えに幅があっても問題内容やグラフの内容をしっかり読んで、答えを求めるために必要な情報を的確にキャッチすれば、決して恐れることはありません。そのためには、問題文の大事な箇所に線を引くなどの方法も有効です。

【第1位 数の問題:四捨五入の解き方が曖昧になっていませんか?】

 5年生最後の組分けテストの攻略ポイントの第1位が四捨五入と聞くと、意外に思われるかもしれません。ところが、この四捨五入のような数の問題で苦戦しているお子様が多くいらっしゃるのです。
 例えば次のような問題でスムーズに正解に行き着けていますでしょうか。

「整数Yを107で割り、商を四捨五入して小数第1位まで求めたところ、2.4になりました。整数Yとして考えられる数は全部で何個ありますか。」

 まずは小数第1位まで求めて2.4になる数の範囲が、2.35以上2.45未満になることが即答できているか、しっかりチェックしてください。正解するだけでなく、即答できることがポイントです。少しでも曖昧な場合は、左の図のような数直線に戻って理解を確かめてください。
 次に、2.35×107=251.45、2.45×107=262.15の小数計算をミスなく進められるかどうか。2.45×107で、2.35×107に0.1×107=10.7を足すという計算の工夫ができればなおよいでしょう。
 そして最後に、251.45から262.15の範囲に入る整数が、252から262となるため、その個数は262-252+1=11(個)と、最後に1を足すことを忘れずにできているかどうかも確認してください。
 このタイプの問題は、テスト序盤の小問集合で出される可能性が高いです。組分けテストで偏差値をアップさせるには、計算問題、小問集合での失点をいかに少なくするかがポイントになります。ここで取り上げた四捨五入など数の問題を含む基本問題で少しでも苦手に感じているところがあれば、それを優先してつぶすように復習を進めてください。

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