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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第3回は『多角形の性質』です。4年生で学習した面積公式の確認と、多角形の内角や外角および対角線の本数について学習します。ほとんどが公式です。公式を忘れても、自身でその場で式を立てられるよう、公式の成り立ちを確実に理解するようにしましょう。
公式を覚えるだけでなく、問題を解く場面で使えるよう、公式を使うための条件も理解しましょう。また、必修例題6は思わぬところで使うことがあります。使うための条件は何かを身に付けましょう。
面積を求める公式の確認、および公式の逆算を利用する問題を学習します。
平行四辺形の面積を求める問題です。
平行四辺形の底辺は12cm、高さは7cmです。公式「底辺×高さ＝平行四辺形の面積」より、12×7＝84。
よって、面積は84平方cmです。
三角形や台形の面積に関する逆算の問題です。
(1) 三角形の底辺は13cm、面積は52平方cmです。高さを□cmとして、公式「底辺×高さ÷2＝三角形の面積」に合わせて整頓すると、13×□÷2＝52ですから、逆算をして、□＝52×2÷13＝8より、高さは8cmです。
(2) 台形の下底は8cm、高さは6cm、面積は33平方cmです。公式「(上底＋下底)×高さ÷2＝台形の面積」に合わせて整頓すると、上底を□cmとして、(□＋8)×6÷2＝33ですから、逆算をして、□＝33×2÷6－8＝3より、上底の長さは、3cmです。
正多角形を含めた多角形の内角について、および多角形の対角線の本数について学習します。
多角形の内角の和を求める問題です。
多角形を三角形に分けて、内角を考えます。予習シリーズ28ページの公式の成り立ちについて、図をよく見ながら理解を進めてください。公式「180×(N－2)＝N角形の内角の和」により、180×(7－2)＝900となるので、七角形の内角の和は、900度です。
正多角形の1つの内角の大きさを求める問題です。「正多角形」とは、辺の長さ、内角1つの大きさが、それぞれ等しい図形をいいます。
正八角形の1つの内角を求める問題です。内角の和を求めて、八等分する解き方もよいですが、ここでは、隣り合う内角と外角の和は180度になることに着目して考えます。多角形の外角の和は、どのような多角形でも360度です(予習シリーズ29ページの説明をよく理解してください)。
360÷8＝45より、正八角形の外角1つの大きさは45度です。よって、180－45＝135より、正八角形の内角1つの大きさは135度です。
多角形の対角線の本数を求める問題です。
予習シリーズ30ページの公式の成り立ちについて、図をよく見ながら理解を進めてください。
七角形では、1つの頂点から、対角線は、(7－3＝)4本ずつひくことができます。よって、7つの頂点を考えると、4×7＝28本ひけますが、1本の対角線について2つずつ数えていますので、2でわることになります。
よって、公式「(N－3)×N÷2＝N角形の対角線の本数」の通り、(7－3)×7÷2＝14より、七角形の対角線の本数は、14本です。
注意すべき内容の問題です。今後も思わぬところで使われますので、きちんと理解しておきましょう。予習シリーズ31ページの解き方にある図を参照してください。
三角形ABCにおいて、底辺をBCとしたときの高さにあたる長さを考えます。頂点Aから底辺BCに垂直にひいた直線がBCと交わる点をHとします。
三角形ABHは、角Bが30度、角BAHが180－(30＋90)＝60度の直角三角形です。この直角三角形（3つの角が、30度、60度、90度）は、正三角形を半分にした形ですので、辺AHの長さ(三角形ABCの高さにあたります)は、辺ABの長さの半分になります。
AB＝BC＝6cmですから、6÷2＝3より、AH＝3cmです。よって、6×3÷2＝9より、三角形ABCの面積は、9平方cmとなります。
“30度、60度、90度の直角三角形では、最長の辺の長さは、最短の辺の長さの2倍の長さ”となることを、よく覚えておきましょう。
第3回は『角の性質』です。予習シリーズ26ページ、28ページ、29ページに書いてある用語をしっかり身につけてください。また、説明をよく読みましょう。加えて、27ページの分度器の使い方もマスターしましょう。
角についての用語を身につけることはもちろんですが、それぞれの用語が、ちらばっている角、はなれている角を1か所にまとめる意味があることを理解しましょう。1か所にまとめることで、角の大きさが求めやすくなります。
予習シリーズ26ページの、「角の大きさ」をよく読みましょう。
直線の角度は180度である、という特別な角度の利用の問題です。
1本の辺が辺の片側の点（頂点といいます）を中心にして1/2（2分の1）回転してできる角度は180度です。
よって、問題の図では、120度＋ア＝180度となります。ですから、180－120＝60より、アの角の大きさは60度です。
辺が頂点を中心にして1回転してできる角度が360度であるという、特別な角度を利用します。
ア＋45度＝360度となりますので、360－45＝315より、アの角の大きさは315度です。
予習シリーズ28ページの「対頂角」についての説明をよく読みましょう。
「対頂角は等しい」という性質を利用する問題です。
(60度＋ア)の角の大きさが130度と対頂角になっていることを読み取ります。つまり、60度＋ア＝130度となります。
よって、130－60＝70より、アの角の大きさは70度です。
予習シリーズ29ページの「平行線と角」についての説明をよく読みましょう。「垂直」、「平行」、同位角」、「さっ角」の説明も理解してください。
なお、この説明によって、「さっ角」は、「同位角と対頂角」をまとめた使い方であることが、わかるでしょう。「同位角とさっ角」では、角度をつくる直線のうち2本が平行であることが前提となります。これらの性質は角度の問題ではよく使われます。単に理解するのではなく、応用できるように、角度の読み方のトレーニングをしていきましょう。
2本の直線が平行であることから、同位角やさっ角は等しい、という性質を利用する問題です。
問題の図の、「直線あ」と「直線い」は平行ですので、「直線い」で、角アの下の角は、「同位角は等しい」ことにより75度です。
よって、ア＋75度＝180度ですから、180－75＝105より、アの角の大きさは105度です。
別解として、アの角と向かって右側のとなり合う角と75度がさっ角の位置関係にあることから、アの右どなりの角が75度となりなりますので、180－75＝105よりアの角の大きさが105度になる、とすることもできます。
こちらも平行線について，同位角やさっ角を利用して角度を求める問題です。補助線の引き方が大事になります。
平行線に、ひらがなの「く」の字が，交わっています。予習シリーズ31ページの解き方にある図を参照して下さい。
「直線あ」と「直線い」に平行で「く」の字の頂点(アの角)を通る「直線う」をひきます。
アの角を「直線う」の上側にある角をイ、下側にある角をウと分けて名付けます。角イは，「直線あ」の上側にある38度と同位角の関係で等しく，角ウは，「直線い」の上側にある53度とさっ角の関係で等しくなります。
ですから，ア＝イ＋ウ＝38＋53＝91 より，アの角は，91度です。
今後も、角度を考える問題では、基本的に今回の内容を使っていくことになりますので、しっかりと理解しておきましょう。
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