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No.1015 早稲アカ・四谷大塚4・5年生 予習シリーズ算数上 第3回対策ポイント

<算数 5年上 第3回>

 第3回は『多角形の性質』です。4年生で学習した面積公式の確認と、多角形の内角や外角および対角線の本数について学習します。ほとんどが公式です。公式を忘れても、自身でその場で式を立てられるよう、公式の成り立ちを確実に理解するようにしましょう。

<今回のポイント>

 公式を覚えるだけでなく、問題を解く場面で使えるよう、公式を使うための条件も理解しましょう。また、必修例題6は思わぬところで使うことがあります。使うための条件は何かを身に付けましょう。

【攻略ポイント1】

 面積を求める公式の確認、および公式の逆算を利用する問題を学習します。

[必修例題1]

 平行四辺形の面積を求める問題です。
 平行四辺形の底辺は12cm、高さは7cmです。公式「底辺×高さ=平行四辺形の面積」より、12×7=84。
 よって、面積は84平方cmです。

[必修例題2]

 三角形や台形の面積に関する逆算の問題です。
(1) 三角形の底辺は13cm、面積は52平方cmです。高さを□cmとして、公式「底辺×高さ÷2=三角形の面積」に合わせて整頓すると、13×□÷2=52ですから、逆算をして、□=52×2÷13=8より、高さは8cmです。
(2) 台形の下底は8cm、高さは6cm、面積は33平方cmです。公式「(上底+下底)×高さ÷2=台形の面積」に合わせて整頓すると、上底を□cmとして、(□+8)×6÷2=33ですから、逆算をして、□=33×2÷6-8=3より、上底の長さは、3cmです。

【攻略ポイント2】

 正多角形を含めた多角形の内角について、および多角形の対角線の本数について学習します。

[必修例題3]

 多角形の内角の和を求める問題です。
 多角形を三角形に分けて、内角を考えます。予習シリーズ28ページの公式の成り立ちについて、図をよく見ながら理解を進めてください。公式「180×(N-2)=N角形の内角の和」により、180×(7-2)=900となるので、七角形の内角の和は、900度です。

[必修例題4]

 正多角形の1つの内角の大きさを求める問題です。「正多角形」とは、辺の長さ、内角1つの大きさが、それぞれ等しい図形をいいます。
 正八角形の1つの内角を求める問題です。内角の和を求めて、八等分する解き方もよいですが、ここでは、隣り合う内角と外角の和は180度になることに着目して考えます。多角形の外角の和は、どのような多角形でも360度です(予習シリーズ29ページの説明をよく理解してください)。
 360÷8=45より、正八角形の外角1つの大きさは45度です。よって、180-45=135より、正八角形の内角1つの大きさは135度です。

[必修例題5]

 多角形の対角線の本数を求める問題です。
 予習シリーズ30ページの公式の成り立ちについて、図をよく見ながら理解を進めてください。
 七角形では、1つの頂点から、対角線は、(7-3=)4本ずつひくことができます。よって、7つの頂点を考えると、4×7=28本ひけますが、1本の対角線について2つずつ数えていますので、2でわることになります。
 よって、公式「(N-3)×N÷2=N角形の対角線の本数」の通り、(7-3)×7÷2=14より、七角形の対角線の本数は、14本です。

【攻略ポイント3】
[必修例題6]

 注意すべき内容の問題です。今後も思わぬところで使われますので、きちんと理解しておきましょう。予習シリーズ31ページの解き方にある図を参照してください。
 三角形ABCにおいて、底辺をBCとしたときの高さにあたる長さを考えます。頂点Aから底辺BCに垂直にひいた直線がBCと交わる点をHとします。
 三角形ABHは、角Bが30度、角BAHが180-(30+90)=60度の直角三角形です。この直角三角形(3つの角が、30度、60度、90度)は、正三角形を半分にした形ですので、辺AHの長さ(三角形ABCの高さにあたります)は、辺ABの長さの半分になります。
 AB=BC=6cmですから、6÷2=3より、AH=3cmです。よって、6×3÷2=9より、三角形ABCの面積は、9平方cmとなります。

 “30度、60度、90度の直角三角形では、最長の辺の長さは、最短の辺の長さの2倍の長さ”となることを、よく覚えておきましょう。

<算数 4年上 第3回>

 第3回は『角の性質』です。予習シリーズ26ページ、28ページ、29ページに書いてある用語をしっかり身につけてください。また、説明をよく読みましょう。加えて、27ページの分度器の使い方もマスターしましょう。

<今回のポイント>

 角についての用語を身につけることはもちろんですが、それぞれの用語が、ちらばっている角、はなれている角を1か所にまとめる意味があることを理解しましょう。1か所にまとめることで、角の大きさが求めやすくなります。

【攻略ポイント1】

 予習シリーズ26ページの、「角の大きさ」をよく読みましょう。

[例題1]

 直線の角度は180度である、という特別な角度の利用の問題です。
 1本の辺が辺の片側の点(頂点といいます)を中心にして1/2(2分の1)回転してできる角度は180度です。
 よって、問題の図では、120度+ア=180度となります。ですから、180-120=60より、アの角の大きさは60度です。

[例題2]

 辺が頂点を中心にして1回転してできる角度が360度であるという、特別な角度を利用します。
 ア+45度=360度となりますので、360-45=315より、アの角の大きさは315度です。

【攻略ポイント2】

 予習シリーズ28ページの「対頂角」についての説明をよく読みましょう。

[例題3]

 「対頂角は等しい」という性質を利用する問題です。
 (60度+ア)の角の大きさが130度と対頂角になっていることを読み取ります。つまり、60度+ア=130度となります。
 よって、130-60=70より、アの角の大きさは70度です。

【攻略ポイント3】

 予習シリーズ29ページの「平行線と角」についての説明をよく読みましょう。「垂直」、「平行」、同位角」、「さっ角」の説明も理解してください。
 なお、この説明によって、「さっ角」は、「同位角と対頂角」をまとめた使い方であることが、わかるでしょう。「同位角とさっ角」では、角度をつくる直線のうち2本が平行であることが前提となります。これらの性質は角度の問題ではよく使われます。単に理解するのではなく、応用できるように、角度の読み方のトレーニングをしていきましょう。

[例題4]

 2本の直線が平行であることから、同位角やさっ角は等しい、という性質を利用する問題です。
 問題の図の、「直線あ」と「直線い」は平行ですので、「直線い」で、角アの下の角は、「同位角は等しい」ことにより75度です。
 よって、ア+75度=180度ですから、180-75=105より、アの角の大きさは105度です。
 別解として、アの角と向かって右側のとなり合う角と75度がさっ角の位置関係にあることから、アの右どなりの角が75度となりなりますので、180-75=105よりアの角の大きさが105度になる、とすることもできます。

[例題5]

 こちらも平行線について,同位角やさっ角を利用して角度を求める問題です。補助線の引き方が大事になります。
 平行線に、ひらがなの「く」の字が,交わっています。予習シリーズ31ページの解き方にある図を参照して下さい。
 「直線あ」と「直線い」に平行で「く」の字の頂点(アの角)を通る「直線う」をひきます。
 アの角を「直線う」の上側にある角をイ、下側にある角をウと分けて名付けます。角イは,「直線あ」の上側にある38度と同位角の関係で等しく,角ウは,「直線い」の上側にある53度とさっ角の関係で等しくなります。
 ですから,ア=イ+ウ=38+53=91 より,アの角は,91度です。

 今後も、角度を考える問題では、基本的に今回の内容を使っていくことになりますので、しっかりと理解しておきましょう。

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