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＜算数　6年上　第11回＞

　第11回は『数と規則性(3)』です。等差数列、群数列、既約分数、数表などを学習します。

＜今回のポイント＞

　各問題の解法ポイントを、下の解説を読んで理解して下さい。規則性の問題は、その名の通り、簡単な例を自分で書き出して、規則を見つけることです。ぜひ、実践してください。

【対策ポイント1】

[必修例題1(2)]
　階差数列の問題です。階差数列とは、前後の2数の差が等差数列になっている数列です。

　並んでいる数列の差を書き出すと、1，2，3，4，5，…と等差数列になっています。
この数列で、例えば5番目の数である11を、計算で求めてみましょう。
1＋(1＋2＋3＋4)＝11 となります。5番目の数は、1に1から順に(5－1＝)4までの和を加えて求めることがわかります。
マル1（マルの中に数の入った記号は文字化けしますので、このように表記します。)　
　左から10番目の数は、1＋(1から9までの数の和)＝1＋45＝46 より、46です。
マル2
　92－1＝91 より、1から□までの和が91になる□を求めます。1から10までの和は55ですから、その先を順に加えて求めます。13まで加える(1から13までの和)と91となりました。よって、13＋1＝14 より、92は、左からかぞえて14番目の数です。

【対策ポイント2】

群数列について学習します。群数列とは、群（組）で数列になっているものをいいます。

[必修例題2]
　分数の群数列の問題です。
分数の群数列では、組ごとに、分母の数、組の個数、組ごとの和、などを調べておくと解きやすくなります。
なお、分数は、分子/分母 の形で、帯分数は(整数と分子/分母)の形で表します。

　第1組は、分母が2の分数で、個数は1個、和は1/2です。第2組は、分母が3の分数で、個数は2個、和は1です。第3組は、分母が4の分数で、個数は3個、和は(1と1/2)です。第4組は、分母が5の分数で、個数は4個、和は2です。以下、続きます。
(1) 分母が13ですから、第12組とわかります。分子の8より、第12組の8個目です。
よって、(1＋2＋…＋10＋11)＋8＝74 より、74番目です。
(2) 1から9までの和は45（9組までの個数）ですから、50－45＝5 より、50番目の数は、第10組の5番目です。よって、分母は11で、分子は5となりますので、5/11です。
(3) 各組の和を、加えていきます。第1組から順に、各組の和を、すべて分母2の分数で表していくと、1/2＋2/2＋3/2＋4/2＋…　で、第9組の和である9/2までの和は、等差数列の和です。これに、第10組の5個である1/11から5/11までの和を加えます。
第1組から第9組までの和は、分子の和が1から9までの和である45で、分母が2ですから、45/2、第10組の5個の和は、15/11です。
よって、45/2＋15/11=525/22 より、1番目から50番目までの分数の和は、(23と19/22)です。

[必修例題3]
　前問と同様、群数列の問題です。
　どこまでを組とするかがポイントです。

　3と4の倍数が関係しているので、その最小公倍数である12までを考えますと、
1、2、5、7、10、11 となり、その後は、13、14、17、… と続きます。この第1組である、｛1、2、5、7、10、11｝は、整数を12で割ったときのあまりを組にしていることがわかります。その後も同様で、6個1組で、続きます。
(1) 53÷12＝4あまり5 より、53は、(4＋1＝)5組の(あまりの5は)3番目です。
よって、6×4＋3＝27より、53は27番目の数です。
(2) 100÷6＝16あまり4 より、(16＋1＝)17組の4番目です。第17組の数は、12で割ったときの商が16で、4番目のあまりは、7ですから、
12×16＋7＝199 より、100番目の数は、199です。

【対策ポイント3】

[必修例題6]
　三角数の数表問題です。
　三角数とは、1から順に整数をたした答えを順に並べた数をいいます。
　　1、(1＋2＝)3、(1＋2＋3＝)6、以下、10、15、21、…と続きます。

　問題の数表は、左下がりの45度の線上に数が順に並んでいます。そして、各行の1列の数は、この三角数になっています。予習シリーズの解説とは異なった解き方で、三角数を中心に解いてみましょう。仕組みはおなじです。
(1) 数の並び方から、1行目の8列目の数は、7行目の1列目の数に1を加えた数です。
7行目の1列目の数は、三角数の7番目の数で、(1＋7)×7÷2＝28です。
よって、28＋1＝29 より、1行目の8列目の数は、29です。
(2) 50に近い三角数は、1から9までの和の45があります。50－45＝5 より、9行目の1列にある45の次は、1行目の10列目から並ぶ45度線上で、50は、この45度線上の5つ目です。この5つ目は、10－5＋1＝6 より、6列目となります。
よって、50は、5行目の6列目です。
簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。予習シリーズ143ページの解き方の図(数表)を参照してください。
(3) 三角数の数表では、同じ45度線上の数は、行数と列数の和がすべて同じになっています。予習シリーズの解き方にある、「たとえば、…」を参照してください。このことに注目して解きます。
8行目の5列目は、8＋5－1＝12 より、1行目の12列目から始まる45度線上の8つ目です。結果として、その前（11行目の1列目）にある、三角数の11番目の数66に、8を加えた数となります。
よって、66＋8＝74 より、8行目の5列目の数は、74です。
ここでも、簡単な数表をかいて、考えるとわかりやすくなります。

＜算数　5年上　第12回＞

第12回は『場合の数(3)』です。ここでは、和の法則と積の法則の違いを学習します。また、並べ方（順列とも言います）の基本も学習します。

＜今回のポイント＞

和の法則と積の法則を使い分けられるように、問題文の読み取り方に注意して練習を
　重ねましょう。また、道順の問題は、この回で必ずマスターしましょう。

【対策ポイント1】

[必修例題1]
ごばんの目の形をした道を進む道順の問題です。

A地点からB地点まで最短距離（最も短い道のり）で行く道順が何通りあるかを考えます。最短距離ですので、この問題では、右方向か上方向に進むことで、左方向や下方向に進むことはできません。
基本は、ある道の角(かど)まで行くには、どの角を通って行けるかを考えることです。予習シリーズ109ページの解き方にある図を参照して下さい。
A→E（角Aから角Eに行くことを表します）は1通りの行き方しかありません。そこで、角Eに1と書いておきます。同様に、A→Cも1通りなので、角Cに1と書きます。次に、角Fには、E→F、C→Fの2通りあります。そこで、角Fに2と書きます。
このように、それぞれの角に、前（横とたて）の角に書かれた数を合計した数を書いていきます。また、角Dへの行き方は、C→Dのみですから、角Dは1と書きます。
次に、角Gは、F→G、D→Gですので、角Fの2と、角Dの1を合計して角Gは3となります。この後も、角ごとに合計の数を書き込んでいきます。
結果として、ゴールの角Bは、左どなりの角の6と、下の角の4を合計して6＋4＝10となりますので、A地点からB地点までの行き方は10通りです。

角に入れる数はその角に着くのに何通りあるかの数、という基本的な考え方をしっかり覚えておいてください。ただ角の数を足す、とだけ覚えてしまうと、応用問題に対応できなくなりますので、注意しましょう。

[必修例題2]
サイコロの目の和の問題です。

（区別のつく）大小2個のサイコロをふって、出た目の和が5の倍数になるのは何通りあるかを考えます。
サイコロ2個の目の和は、(1×2＝)2以上(6×2＝)12以下ですので、5の倍数になるのは、和が5の場合と、和が10の場合です。それぞれの目の出方を考えます。(大の目、小の目)として表します。
和が5の場合は、(4,1)、(3,2)、(2,3)、(1,4)の4通りあります。和が10の場合は、(6,4)、(5,5)、(4,6)の3通りあります。
よって、4＋3＝7より、5の倍数になる目の出方は、7通りあります。

　このように、複数のことがら（和が5になる場合と和が10になる場合）が同時にはおこらないとき、別々の場合に分けて場合の数を考え、結果をたし算することを、和の法則といいます。なお、必修例題1も、和の法則と考えられます。

【対策ポイント2】

[必修例題3]
A町、B町、C町を結ぶ道において、道順を考える問題です。

(1) A町からC町まで行く道順が何通りあるかを考えます。A町からB町まで4本の道がありますので、A→B(AからBへ行く)の行き方は4通りあります。また、B町からC町まで3本の道がありますので、B→Cは3通りあります。
どの道を通ってもよいので、A→Bの4通りそれぞれに、B→Cの3通りがありますので、4×3＝12より、A町からC町まで行く道順は、全部で12通りになります。
(2) A町とC町の間を往復するとき、行きに通った道は帰りには通れないとする条件で道順が何通りあるかを考えます。
行きは、(1)の結果である12通りです。
帰りには、C→Bは、3本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り2本ですから、2通りあります。同様に、B→Aも4本の道のうちの1本は行きに通っていますので、残り3本ですから、3通りとなります。
よって、帰りは、2×3＝6より、6通りです。往復では、行きの12通りのそれぞれに帰りの6通りがありますので、12×6＝72より、往復の道順は72通りです。

このように、複数のことがらが、続けて起こる場合や、同時に起こる場合の計算は、それぞれの場合の数をかけ算します。これを、積の法則といいます。

【対策ポイント3】

[必修例題4]
何人かの人を並べる問題です。並べ方の問題、または、順列の問題といわれるものです。

父をA、母をB、子ども2人をC、Dとします。
(1) 左から1番目には、A、B、C、Dの誰が並んでもよいので4通りあります。
2番目には、1番目に並んだ人を除く3人のうちの誰が並んでもよいので3通りです。
3番目には、1番目、2番目に並んだ人を除く2人のうちのどちらでもよいので2通りとなります。
4番目には、残りの1人がくる1通りです。
続けて並んでいきますので、積の法則を使って、4×3×2×1＝24より、4人の並び方は24通りあります。
(2) 両はしのA、Bの並び方は、A○○Bとするか、B○○Aとするかの2通りです。
中のC、Dのならび方は、□CD□とするか、□DC□とするかの2通りです。
2つのことがらが同時に起こりますので、積の法則を使って、2×2＝4より、並び方は、4通りです。

[必修例題5
数字を並べる問題です。

0、1、2、3、4の数字が書いてある5枚のカードのうちの3枚を並べる問題です。0が含まれるタイプの問題は慎重に取り組む必要がありますので、気をつけてください。
(1) 百の位には、0以外のカードならどれでもよいので、4通りの置き方ができます。
十の位には、百の位に置いたカード以外の4枚のどれでもよいので、4通りあります。一の位には、百の位、十の位に置いたカード以外の3枚のどれでもよいので、3通りとなります。
続けて起こりますので、積の法則を使って、4×4×3＝48より、48通りの整数ができます。
(2) 偶数にするには、一の位が0か、2か4でなければなりません。このとき、百の位には0は置けませんので、その関係から、場合分けをします。
(ア)一の位に0を置くとき。百の位には、4通り。十の位には、一の位に置いた0と百の位に置いたカード以外の3通り。よって、4×3＝12より、12通りの整数ができます。(イ)一の位は2か4を置く2通り。百の位には、0と一の位に置いたカード以外の3通り。十の位には、一の位と百の位に置いたカード以外の3通り。よって、2×3×3＝18より、18通りの整数ができます。
(ア)の場合と(イ)の場合は別々に起こりますから、和の法則により、12＋18＝30となり、偶数は、30通りできます。

＜算数　4年上　第12回＞

第12回は『間の数を考える問題』です。問題の中心は、植木算といわれる問題です。
　予習シリーズ110ページの説明をよく読みましょう。また、各例題の前の説明も理解しましょう。

　まとめておきます。
植木算は、直線の道や丸い池のまわりにそって木を植える場合の、木の本数と道や池のまわりの長さとの関係を考える問題です。
全体の長さは、「1区間（木と木の間）の長さ×区間の数」で求められます。
この区間の数と植えた木の本数の関係を整頓しておきます。
(ア) 両はしに木が植えてある場合は、木の本数－1＝間(区間)の数です。
(イ) 両はしには木が植えられない場合は、木の本数＋1＝間の数です。
(ウ) 池のまわりに木を植える場合は、木の本数＝間の数です。
それぞれの例題について、解き方にある図を参照してください。

＜今回のポイント＞

　基本的な植木算の問題をしっかり解けるようにしましょう。そのうえで、例題4や例題5のように、間の数が何を意味しているかを読み取ることが大切です。

【対策ポイント1】

　植木算の基本を学習します。

[例題1]
木と木の間の長さを求める問題です。

両はしの木が90mはなれていて、全部で10本の木が植えてあるとき、木と木の間は何mはなれているかを考えます。
木と木の間は、10－1＝9か所です。よって、90÷9＝10 より、10ｍの間かくです。

[例題2]
両はしには木が植えてない場合の、木の本数を求める問題です。

　600mはなれた2つのバス停の間に、25mおきに植えてある木の本数を求めます。
600÷25＝24 より、間の数は24か所です。両はしには、木を植えてありませんので、木の本数＝間の数－1 となりますので、24－1＝23 より、木の本数は、23本です。

[例題3]
　池のまわりに木を植える問題です。

　5m間かくで、16本の木を植えるときの池のまわりの長さを求めます。
　木の本数＝間の数　ですから、間は16か所です。
　よって、5×16＝80 より、池のまわりの長さは80mです。

【対策ポイント2】

　植木算を応用した問題を学習します。

[例題4]
　間の数を考える問題です。

　番号のついた電柱が10mおきに立っています。
(1) 13番の電柱を1本目としたとき、20番の電柱は何本目かという問題です。電柱の番号と本数の関係を考えます。たとえば、2本目の電柱の番号は、13＋(2－1)＝14番で、3本目の電柱の番号は、13＋(3－1)＝15番です。このように、13に(本数－1)を加えると番号が求められます。この（本数－1）は、植木算では、間の数でした。
よって、20－13＝7か所ですから、7＋1＝8 より、20番の電柱は、8本目です。
(2) 50－9＝41 より、10mの間が41か所ありますので、10×41＝410、よって、9番目の電柱と50番目の電柱は、410mはなれています。

【対策ポイント3】

[例題5]
　テープをのりしろによって、つなげたときの長さやのりしろの数を考える問題です。

　長さ8cmのテープを、のりしろをおなじ長さにして10本つなげます。
(1) のりしろの数は、テープの本数より、1つ少なくなります。このことがポイントです。10本のテープをつなげるには、のりしろの数は、10－1＝9か所です。のりしろ1か所につき、長さが2cmずつ短くなります。
よって、8×10－2×9＝62 より、テープ全体の長さは、62cmです。
(2) テープ全体の長さが53cmになりましたので、8×10－53＝27 より、のりしろ9か所の合計の長さは27cmです。
よって、27÷9＝3 より、のりしろ1か所の長さは、3cmです。

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