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第16回は『平面図形(3)』です。図形の転がり、平行移動、影の問題を学習します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
図形の様々な移動を考える問題では、自分で図をかいて、部分的な長さを考える必要があります。今回に限らず、図形問題では、普段から図をかくことを心がけてください。また、円に関連した問題では、円周率はまとめて計算しましょう。
円について図形の転がりを考える問題です。
接した2つの円のまわりを、もう1つの円が接してまわる問題です。
予習シリーズ203ページの解き方の図を参照してください。なお、円周率は3.14です。
半径3cmの2つ円A、Bが円周上の1点でくっついて並んでいます。この2つの円のまわりを、同じ半径3cmの円Cがすべることなく接しながら1周してもとの位置にもどります。
(1) 円Cの中心が通ったあとの線をかく問題です。
円A、Bの中心を結んだ線を1辺とした正三角形を上下に作ります。この正三角形の頂点は、円Cの中心です。作図としては、逆に、それぞれ円A、Bの中心を中心に半径(3×2＝)6cmの円をえがき、この2円の円周が交わった点が正三角形の頂点になります。
結果、それぞれの円周が正三角形の頂点で交わるまでの線が答えとなります。解答を参照してください。
(2) (1)の図の長さを求めます。正三角形が上下につながって2つありますので、中心角は、60×2＝120度をのぞいた、360－120＝240度で、半径が6cmのおうぎ形の弧を2つつなげた長さになります。
よって、6×2×3.14×240/360×2＝16×3.14＝50.24 より、円Cの中心が通った線の長さは、50.24cmです。
(3) この線で囲まれた図形の面積を求めます。
半径6cm、中心角240度のおうぎ形2つ分の面積に正三角形2つ分の面積を加えます。
おうぎ形2つ分の面積は、6×6×3.14×240/360×2＝48×3.14＝150.72平方cmです。また、正三角形2つ分の面積は、条件より15.6×2＝31.2平方cmです。
よって、150.72＋31.2＝181.92 より、この図形の面積は、181.92平方cmです。
直線上をおうぎ形が転がります。
半径6cm、中心角60度のおうぎ形OABをすべらせることなく、直線ℓ上を転がします。円周率は3.14です。
(1) まず、半径OAが直線ℓに対して垂直になるようにおうぎ形が立ち上がります。中心Oが動いた長さaは、a＝6×2×3.14×90/360＝3×3.14 です。
次に、おうぎ形の弧が直線ℓに接した状態で、弧の長さ分だけ転がります。このとき、中心Oは、直線ℓから半径の長さ6cm離れたところを平行に移動します。よって、中心Oが動いた長さbは、b＝6×2×3.14×60/360＝2×3.14です。この平行移動の部分を正確に把握するように注意してください。
その後、半径OBがたおれて直線ℓに重なり、中心Oは動きを止めます。このとき、中心Oが動いた長さcは、aと同じ長さで、c＝3×3.14です。
よって、a＋b＋c＝(3＋2＋3)×3.14＝25.12 より、中心Oが動いてできる線の長さは、25.12cmです。
(2) おうぎ形OABが動いてできる図形は、予習シリーズ204ページの解き方にある(図2)のようになります。
(1)の弧aの部分は四分円の面積で、6×6×3.14÷4＝(9×3.14)平方cmです。
弧bの部分は、たて＝6cm、横＝b＝2×3.14の長方形の面積ですから、6×2×3.14＝(12×3.14)平方cmです。
弧cの部分は、中心角＝90－60＝30度のおうぎ形と正三角形に分かれます。おうぎ形の面積は、6×6×3.14×30/360＝(3×3.14)平方cmです。正三角形の面積は、条件より、高さが1.73×(6÷2)＝5.19cmで、底辺＝6cmですから、6×5.19÷2＝15.57平方cmです。
また、この後、おうぎ形は半径OAが直線ℓに接するまで180－60＝120度回転しますので、この部分の面積は、6×6×3.14×120/360＝(12×3.14)平方cmです。
以上を合計して、(9＋12＋3＋12)×3.14＋15.57＝36×3.14＋15.57＝128.61 より、おうぎ形OABが動いてできる図形の面積は、128.61平方cmです。
影の問題を考えます。
地面に垂直に立てた看板の街灯による影の面積を求める問題です。
高さ4mの街灯から6mはなれたところに、高さ1.6m、はば6mの長方形の看板を地面に垂直に立てました。
(1) 街灯と看板の位置関係を真横から考えます。
街灯のライトの部分から地面までの長さ6mをPQとし、地面にできた辺ABの影の先端をCとします。予習シリーズ206ページの解き方にある(図1)を参照してください。
三角形PQCと三角形ABCは相似になります。相似比は、PQ：AB＝4：1.6＝5：2です。よって、QC：BC＝5：2で、QB＝6mですから、QC＝6÷(5－2)×5＝10となりますので、辺ABが地面に作る影の先端は、街灯の真下から10mはなれています。
(2) 街灯と看板の位置関係を真上から考えます。
街灯のある位置をQ、看板が地面にある位置をBD、看板の影をCEとします。(1)と同じく解き方にある(図2)を参照してください。
三角形QBDと三角形QCEは相似になります。相似比は、QB：QC＝6：10＝3：5です。よって、BD：CE＝3：5で、BD＝6mですから、CE＝6÷3×5＝10mです。
影は台形になりますので、上底BD＝6、下底CE＝10、高さBC＝10－6＝4 ですので、(6＋10)×4÷2＝32 より、影の面積は、32平方mです。
第17回は『容器と水量(1)』です。容器に入っている水について、水量と水の深さ、水量の変化とグラフ、水深の変化とグラフを学習します。直方体の容器に入っている水の体積は、直方体の底面積に(高さとなる)水の深さをかけて求められます。よって、水の体積＝底面積×深さ、を基本に問題を解きます。また、容積とは、容器の体積をいい、容器いっぱいに入った水の体積のことです。
[必修例題4]と[必修例題5]のタイプの問題がテストではよく出されます。水そうのかたちとグラフの関係をしっかり理解しましょう。同じ水の体積を、水そうの形を使って表した式とグラフから水の入れ方を使って表した式をつないで考えと解きやすくなります。
水量と水の深さの問題です。
(1) 直方体の容器の底面積は18×20＝360平方cmです。
この容器に15cmの深さまで水を入れましたから、360×15＝5400より、水の体積は、5400立方cmです。
リットル単位にすると、1L＝1000立方cmですから、答えは5.4Lです。
(2) 1dL＝100立方cmですから、12dL＝1200立方cmです。
1辺が20cmの立方体の底面積は(20×20＝)400平方cmで、この容器に□cmの深さまで水を入れると1200立方cmになるのですから、400×□＝1200という関係が成り立ちます。
逆算して、□＝1200÷400＝3より、水の深さは3cmです。
(3) 2.4L＝2400立方cmです。
底面積を□平方cmとして、15cmの深さまで水を入れたときの水の体積が2400立方cmになりますから、□×15＝2400という関係が成り立ちます。
逆算して、□＝2400÷15＝160より、底面積は160平方cmです。
水量の問題では、上記のように単位換算が必要になるケースがとても多いです。立方cm、dL、L、立方mの関係をしっかり覚え、使えるようにしましょう。
水を入れた部分の、容器の各辺の長さを読み取ることが重要な問題です。
(1) 水が入っている部分は、たてが20cm、横が45cm、深さが14cmです。よって、20×45×14＝12600より、水の体積は12600立方cmで、12.6Lです。
(2) 面ABCDが床につくように容器を立てた場合の状況は、予習シリーズ156ページの解き方にある図の通りです。参照して下さい。
下の部分である、たて20cm、横30cm、高さ18cmの部分の体積は、20×30×18＝1080立方cmです。
水は12600立方cmですから、残りの(12600－10800＝)1800立方cmは、この部分より上に入ります。
上の部分の底面は、たて20cm、横15cmとなり、底面積は20×15＝300平方cmです
ので、上の部分の深さを□cmとすると、この部分で300×□＝1800という関係が成り立ちます。
逆算して、□＝1800÷300＝6より、6cmまで水が入りますから、面ABCDからは、18＋6＝24より、24cmの深さになります。
6cmを答えとしないよう、注意しましょう。
グラフの問題では、前回の速さのグラフで述べましたように、グラフの斜めの線の部分を斜辺とする直角三角形を考えます。この直角三角形で、たて線は水量または深さを、横線は（その水量または深さになる）時間を表します。
水を入れるA管と、水を出すB管のついた水そうの問題です。
グラフの右上がりの部分はA管だけを使って水が増えていく状態を、右下がりの部分はA管とB管を使って水が減っていく状態を表しています。
(1) 右上がりの直角三角形を考えますと、横線は(0から40までの)40分で、たて線は(400から1200までの)800Lと増えています。
よって、800÷40＝20より、A管からは1分間に20Lの水が入ることになります。
(2) 右下がりの直角三角形で、横線は(40から60までの)20分で、たて線は(1200から400までの)800Lと減っています。
よって、800÷20＝40より、A管とB管を使って、1分間に40Lの割合で水が減っています。
ですから、20＋40＝60より、B管からは1分間に60Lの水が流れ出ることになります。40Lを答えとしないよう、注意しましょう。
(3) A管とB管を使うと、1分間に40Lずつ減っていきます。60分後の400Lをなくすには、400÷40＝10より、あと10分必要です。
よって、60＋10＝70より、水そうの中の水がなくなるのは、A管を開いてから70分後です。
階段状の容器に水を入れる問題です。
この例題は、底面積が変化することに注意して解いていきます。
予習シリーズ157ページにある、「水深の変化とグラフ」の説明もよく読んでおいてください。特にグラフの傾きと底面積の大きさの関係には十分に注意しましょう。
(図1)より、容器の容積がわかるのは、水そうの階段になっている上の部分です。
この部分の体積は、80×100×90＝720000立方cmで、720Lです。毎分24Lの割合で水を入れますから、720÷24＝30より、グラフのアから36(分)までの時間は30分とわかります。よって、36－30＝6より、アにあてはまる数は6です。
アが6ですから、水そうの階段になっている下の部分の体積は、24L×6＝144Lで、144000立方cmとなります。
この部分の深さを□cmとすると、80×60×□＝144000より、□＝144000÷(80×60)＝30ですから、深さを表すイにあてはまる数は、30です。
ウは、容器全体の高さ(深さ)を表していますから、30＋90＝120より、ウにあてはまる数は、120です。
仕切り板で分けられた容器に水を入れる問題です。
グラフの読み取りが大切になります。グラフと水そうに入る水の入り方の順については、予習シリーズ159ページの解き方にある図を参照してください。仕切り板のある容器の問題では、この図（断面図）をかいて考えることが有効になります。なお、分数は、分子/分母の形で表し、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表しています。
(1) 毎分9L＝9000立方cmの割合で、水そうのAの部分に水を入れ始めました。
よって、グラフのはじめの部分は、Aに水を入れ始めて、8分後に仕切り板の高さまで水が入ったことを表しています。
(図1)より、Aの部分の底面積は、60×40＝2400平方cmですから、仕切り板の高さを□cmとすると、この部分の体積は、2400×□(平方cm)で、8分で入るので、9000×8(平方cm)です。
よって、2400×□＝9000×8となりますので、この等式より、□＝9000×8÷2400＝30ですから、仕切り板の高さは、30cmです。
(2) グラフの横軸に平行な部分は、水そうのAの部分の高さが変わらないことから、水そうのBの部分に水が入っていることを表しています。
20－8＝12分より、Bの部分の仕切り板の高さまでの体積は、9000×12＝108000立方cmとわかります。
よって、60×X×30＝108000より、108000÷(60×30)＝60ですので、Xは60cmです。
(3) この水そうの容積は、60×(40＋60)×50＝3000000立方cm＝300Lですから、300÷9＝(33と1/3)より、(33と1/3)分となります。1/3分＝60秒÷3＝20秒です。
よって、水があふれ出すのは、水を入れ始めてから、33分20秒後です。
水量変化とグラフの問題では、(1)で使ったような、容器の形から考えられる水の体積(2400×□)と、水の入れ方から考えられる水の体積(9000×8)を等式でつなぐことで、求める量を解く方法がおすすめです。ぜひ、挑戦してみてください。
第17回は『倍数』です。倍数という言葉からも何倍かしてできる数であることがわかると思います。A÷B＝C（A＝B×C）の関係で、AはBやCの倍数です。
約数の場合と同様、倍数を求める、最小公倍数を求める連除法の使い方といった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。また、倍数の個数を求める計算もしっかり理解してください。
倍数をかき出したり、倍数の個数を求める問題です。
(1) 4の倍数は、4×○で求められますから、小さい方から順に3つ求めますと、4×1＝4、4×2＝8、4×3＝12 となりますので、4、8、12です。
(2) 1から50までの整数の中の4の倍数の個数を求めます。
4の倍数は4つ目ごとにありますから、50までの数を4つずつの組にして、各組のおわりに1個ずつあります。
50÷4＝12あまり2 より、4の倍数は12個あります。
(3) (2)と同様に考えます。100から200までの整数の中の6の倍数の個数ですから、1から200の中の個数から、1から99までの中の個数をのぞきます。
1から200までの中には、200÷6＝33あまり2 より、6の倍数は33個あります。
1から99までの中には、99÷6＝16あまり3 より、6の倍数は16個あります。
よって、33－16＝17 より、100から200までの整数の中には、6の倍数は17個あります。
公倍数と最小公倍数について学習します。予習シリーズ157、158ページの説明をよく読んで、理解しましょう。
公倍数の基本となる問題です。
(1) 9の倍数と12の倍数をかき出していき、等しい数がはじめて出てきたら、その数が最小公倍数です。答えは、36です。
(2) 「公倍数は、最小公倍数の倍数」です。
公倍数の5番目は、最小公倍数に5をかけることで求めることができます。
36×5＝180より、小さい方からかぞえて5番目の公倍数は、180です。
少し複雑な公倍数の問題です。
公倍数の問題では、整数の集まりをグループに分けて表す図「ベン図」で考えると、理解しやすくなります。予習シリーズ159ページの解き方にあるベン図を参照してください。
(1) 6でわり切れる数は6の倍数です。同様に、9でわり切れる数は9の倍数です。
よって、どちらでもわり切れる数は、4と6の公倍数です。(公)倍数の個数を求めますので、[例題1]で学習したように、わり算の商が求める個数です。
6と9の公倍数は、6と9の最小公倍数である18の倍数です。
よって、100までの整数のうち18の倍数の個数を求めます。
100÷18＝5あまり10より、6でも9でもわり切れる整数は、5個です。
(2) ベン図を利用すると、6の倍数(の個数)のうち、18の倍数(の個数)をのぞいた部分とわかります。
100÷6＝16あまり4 より、16個が6の倍数の個数です。また、18の倍数の個数は、(1)で求めた5個です。
よって、求める個数は、16－5＝11より、6でも9でもわり切れない整数は17個です。
最大公約数を求める場合に利用した、連除法を利用して最小公倍数を求めます。
予習シリーズ160ページの説明をよく読みましょう。特に、例1と例2の違いに気をつけましょう。
連除法を使って、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。
解き方にある、それぞれを求める違いを理解して下さい。
倍数の利用の問題です。
A町行きのバスは、12分ごとに駅を出発します。また、B町行きのバスは、16分ごとに駅を出発します。
午前7時に同時に駅を出発した後、同時に駅を出発するのは、(12の倍数)分と(16の倍数)分の共通である公倍数の時間(分)で、最小は最小公倍数である48分後です。
始発を入れて4回目は、始発後の48×(4－1)＝144 より、144分＝2時間24分後です。
よって、2つのバスが4回目に駅を同時に出発するのは、午前7時＋2時間24分＝午前9時24分 です。
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