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グノーブル GnoRev実力確認テスト
算数予想問題
第17回は『論理・数の操作』です。
復習テーマは、概数、推理です。新出テーマは、N進法、連続整数に関する問題、規則を見つける、です。
新出テーマでは、特殊な操作が多いです。なぜそのような操作になるのかといった、背景の考え方を理解することで、長期保存あるいは他への利用ができるようになります。しっかりと理解して進めましょう。
N進法を考えます。
ビー玉を数える装置があります。使われる数字が、{0,1,2,3}ですので、4進法の問題です。Aは、0から3までの個数をあらわします。Bは、4個1組が0組から3組までの個数を表します。Cは、(4×4＝)16個1組が0組から3組までの個数を表します。Dは、(4×4×4＝)64個1組が0組から3組までの個数を表します。
(1) 問題の図では、Dは2組、Cは1組、Bが2組、Aが3個を表しています。よって、(64)×2＋(16)×1＋(4)×2＋3＝155 より、ビー玉は、155個です。
(2) 99÷4＝24あまり3 より、B24組と3個となりますので、Aは3です。B4組でC1組になりますので、24÷4＝6 より、C6組で、Bは0です。C4組でD1組になりますので、6÷4＝1あまり2 より、Cが2、Dが1です。結果、A＝3、B＝0、C＝2、D＝1 を指します。
(2)の計算は、予習シリーズの解き方(177ページ)にあるような、割り算を逆向きにすすめる方法(すだれ算ともいう)を使うと効率よくできます。
N進法を考えた数列で、使われる数字が{0,1,2}ですので、3進法の問題です。
(1) 3進法で表された221が、何番目（1から順に数える10進法）になるか、という3進法→10進法の問題です。3進法は、1の位、3の位、3×3の位、……、となっています。よって、(3×3)×2＋(3)×2＋1＝25 より、221は、25番目です。
(2) 10進法→3進法の問題です。前問に記したように、すだれ算を利用すると効果的です。 50÷3＝16組あまり2 より、(3)の位が16組と、2のあまり
16÷3＝5組あまり1 より、(3×3)の位が5組と(3)の組が1組あまり
5÷3＝1組あまり2 より、(3×3×3)の位が1組と、(3×3)の組が2組あまり
よって、50番目の整数は、1212 です。
投票についての問題を考えます。当選するために必要な、最少の得票数を求める公式を作ります。
総投票数÷(当選人数＋1)＝(整数の商)AあまりB (Bは0でもかまいません)
最少得票数＝A＋1
※立候補者の人数は、計算には使いません（ここがポイントです。）
35人のクラスで、1人1票を投票(全部で35票)して、2人の代表を選びます。ある人物Aが当選するために必要な最低(少)得票数を求める問題です。立候補者が5人いますが、この人数は問いません。
上に記した公式にそって求めます。
35÷(2＋1)＝11あまり2、11＋1＝12
より、Aが当選するためには、最低12票必要です。
同じく投票の問題ですが、開票途中を考える問題です。
105人の6年生の生徒の中から、1人1票の投票で、学年代表を3人選びます。立候補者は、A～Eの5人です。また、70票まで開票した、各候補者の得票数がわかっています。
前問と同様に考えると、105÷(3＋1)＝26あまり1 、26＋1＝27 より、27票が最少得票数で、Aの25票は、最少得票数に達していません。
(1) 現時点で、得票数25票のAが当選確実かどうかを考えます。(3＋1＝)4人が接戦になるまで、得票したと考えます。このとき、上位から4人を考えることで、接戦の状況になりますので、Eは除いて4人で考えます。
Bに(25－16＝)9票、Cに(25－12＝)13票、Dに(25－9＝)16票、それぞれ得票すれば同得票数になりますが、残りは、(105－70＝)35票で、(9＋13＋16＝)38票になりませんから、B、C、Dの3人全員がそろって、Aに追いつくことはありません。よって、Aは、上位3人の中に入りますので、Aは当選確実です。
(2) 当選確実のAを除くB、C、Dから、(3－1＝)2人を選びます。ここで、A、Eを除くB、C、Dの3人で再投票と考えます。ただし、AとEの得票数(25＋8＝)33票はそのままにして、残りの105－33＝72票で進めます。72÷(2＋1)＝24あまり0 より、24＋1＝25票で当選確実となります。現在、Bは16票ですから、25－16＝9 より、Bは、あと9票とれば当選確実です。
第19回は『図形上の点の移動』です。図形の辺上を動く点について、移動する点の速さ、スタートする点、動く方向を注意することが大切です。また、自分で図形をかいて、長さを書き込んでみると、よりわかりやすくなります。それぞれの問題については、予習シリーズ解説の図を参照してください。
なお、分数は、分子/分母の形で、また、帯分数は、(整数と分子/分母)の形で表します。
上にも述べましたように、自分で図をかくことが大切になります。また、グラフが与えられた場合には、グラフの変化をきちんと読み取りましょう。角速度も身につけましょう。
点が移動する場合の、図形の形や面積の変化を学習します。
三角形の頂点と、辺上を移動する点によってできる図形について、面積や、その面積ができる時間を考える問題です。
秒速2cmの速さで出発する点Pが直角三角形ABCの頂点Bを出発して、直角三角形の辺上を、頂点Cを通り頂点Aまで進みます。
(1) 秒速2cmの速さで11秒間動きますので、(2×11＝)22cm進みます。頂点Bから22cmの長さは、頂点Cを通過して、18＋12－22＝8より、頂点Aより8cm手前の地点です。三角形ABPは、底辺をAP＝8cmとし、角Cは直角ですから、BC＝18cmを高さとした三角形です。よって、8×18÷2＝72 より、三角形ABPの面積は、72平方cmです。
(2) 三角形ABCは、18×12÷2＝108平方cmですから、三角形ABPの面積が36平方cmとなるのは、点Pが辺BC上にあるときで、底辺がBP、高さが辺ACの12cmです。BP×12÷2＝36 より、BP＝36×2÷12＝6 となります。よって、6÷2＝3 より、点Pが出発してから3秒後です。
また、点Pが辺AC上にある場合にも、面積が36平方cmとなるときがあります。AP×18÷2＝36 より、AP＝36×2÷18＝4 となります。これは、頂点Bから、18＋12－4＝26 より、点Pが26cm進んでいますので、26÷2＝13 より、点Pが出発してから13秒後です。
2点が正方形の辺上を移動する問題で、基本は旅人算です。
正方形ABCDの辺上を、点PはAから秒速5cmの速さで、点QはCから秒速3cmの速さで、同時に出発して同対方向に進みます。
(1) PとQを結んだ直線PQが辺ADと平行になるのは、APの長さとDQの長さが等しくなる時で、DQ＝15－CQですのでAP＝15－CQとなり、AP＋CQ＝15となります。つまり、点Pと点Qの動いた長さの合計が正方形の1辺15cmになる時です。旅人算の考えで、15÷(5＋3)＝15/8＝(1と7/8) より、2点が出発してから、(1と7/8)秒後です。
(2) 点PがDを通過するのは、15×3÷5＝9 より1回目は9秒後で、その後は、(15×4÷5＝)12秒ごとです。つまり、秒数で、9、21、33、45、…となります。点QがDを通過するのは、15÷3＝5 より、1回目は5秒後で、その後は、(15×4÷3＝)20秒ごとです。秒数で、5、25、45、…となります。よって、2点P、Qが同時にDを通過するのは、出発してから45秒後です。
(3) (2)の答えである45秒後のあと、点Pは12秒ごとに、点Qは20秒ごとにDを通過しますので、12と20の最小公倍数である60秒ごとに、2点はDを同時に通過します。よって、45＋60＋60＝165 より、3回目にDを同時に通過すのは、2点が出発してから165秒後です。
2点が台形の辺上を移動する問題です。
点PはAを出発して秒速1cmで辺AD上を、点QはBを出発して秒速2cmで辺BC上を、どちらも往復し続けます。
(1) 四角形ABQPの面積がはじめて75平方cmになるときを求めます。四角形ABQPは台形ですから、上底＋下底＝75×2÷10＝15です。この上底＋下底は、AP＋BQですから、2点PとQが合わせて15cm進む時間を求めます。旅人算の考えで、15÷(1＋2)＝5 より、出発してから5秒後です。
(2) 直線PQがはじめて辺DCと平行になるときを求めます。PQとDCが平行になるのは、PD＝QCのときで、辺AD、辺BCから同じ長さだけ短くなります。よって、APとBQの長さの差は、ADとBCの差になります。24－15＝9 の差になる時間が求める時間です。ここがポイントです。旅人算の考えで、9÷(2－1)＝9 より、出発してから9秒後です。
(3) 直線PQがはじめて辺ABと平行になるときを求めます。PQとABが平行になるのは、2点P、Qが同方向に進んでいるときに、AP=BQとなる場合か、反対方向に進んでいるときに、AP＋CQ＝24cm、または、BQ＋DP＝15cmとなる場合です。
そこで、P、Qの動く時間とそのときの向きを調べます。
P；0～15秒(→向き)、15～30秒(←向き)、30～45秒(→向き)、46～60秒(←向き)、…
Q；0～12秒(→向き)、12～24秒(←向き)、24～36秒(→向き)、36～48秒(←向き)、…
15秒後、PはDに到着(15cm)、Qは折り返して、2×15－24＝6cmで、合計21cmですから、平行になりません。
Pが折り返したとき(15秒後)、2点P、Qの差は、(24－6)－15＝3cmで、この長さをQがPに追いつけば、AP＝BQとなります。3÷(2－1)＝3秒です。よって、15＋3＝18 より、2点が出発してから18秒ごとです。
点の移動とグラフの問題を学習します。
与えられたグラフから、点の移動する時間と図形の面積の関係を読み取る問題です。テストでも頻出の単元ですので、図形とグラフの関係をしっかり理解しましょう。
台形ABCDの辺上を、点PがBを出発して、毎秒2cmの速さで矢印の方向(B～C～D)に動いたときの、点Pの動いた時間と、三角形APDの面積の変化をグラフから読み取ります。
(1) グラフより、0～10秒で、点Pは辺BC間を動きますので、BC＝2×10＝20cmです。グラフより、点PがBにあるときの三角形APDの面積が40平方cmから、AB×20÷2＝40 の逆算で、AB＝40×2÷20＝4 より、辺ABは4cmです。10秒後に点PはCにあって、グラフより、このときの三角形ACDの面積は120平方cmです。DC×20÷2＝120 の逆算で、DC＝120×2÷20＝12 より、辺DCは12cmです。
(2) xは、点PがDに到着した時間です。B～C～Dの長さは20＋12＝32cmですから、 32÷2＝16 より、xは、16(秒)です。
(3) グラフより、点Pが辺BC上にあるときは、(0から10の)10秒間で、面積は(40から120へ)80平方cm増えますので、1秒間あたり80÷10＝8平方cmずつ増えます。よって、(80－40)÷8＝5より、三角形APDの面積が80平方cmになるのは、5秒です。
また、点Pが辺CD上にあるときは、(10から16の)6秒間で、面積は(120から0へ)120平方cm減りますから、1秒間あたり120÷6＝20平方cmずつ減ります。よって、(120－80)÷20＝2より、10＋2＝12ですから、三角形APDの面積が80平方cmになるのは、12秒後です。以上より、答えは5秒後と12秒後です。
角速度を利用した問題を学習します。
円周上を移動する点について、円周上のあるきまった点(定点)からの進んだ長さを、中心のまわりを回転する角度を利用して表す方法を角速度といいます。
円周上を点が移動する点の問題です。
円Oの周上を、1周するのに40秒かかる点Pと、1周するのに24秒かかる点Qが同時に定点Aから、反対方向に動きます。
(1) 点Pは1周360度を40秒で動くことになりますので、360÷40＝9 より、点Pの角速度は毎秒9度です。同様に、360÷24＝15 より、点Qの角速度は毎秒15度です。(9＋15)×9＝216 となりますが、小さいほうの角度を求めますので、360－216＝144 より、9秒後の角POQの大きさは、144度です。「小さいほうの角度」を求めることに注意しましょう。
(2) 反対方向に進みますので、1周360度はなれれば、重なることになります。360÷(9＋15)＝15 より、2点が重なるのは、15秒後です。
(3) 角PAQが直角になるのは、PQが円の直径になるときです。このことがポイントです。つまり、180度はなれるときで、「角PAQ」を「角POQ」と読み間違えしないよう注意しましょう。180÷(9＋15)＝7.5 より、2点が出発してから7.5秒後です。
第19回は『立方体と直方体の性質』です。立方体と直方体の各部分の名前や性質、展開図について、学習します。まずは、予習シリーズ176ページの説明をよく読んで、面や辺や頂点、あるいはその他の用語、性質がわかるようにしておきましょう。
直方体にひもをかける問題や、さいころの目の数を考える問題をきちんと解けるよう、練習しましょう。また、立方体や直方体において、見取り図と展開図とで頂点の位置の関係は、上級学年でも重要になります。しっかり身に付けましょう。
直方体の辺の長さについての問題です。
(1) 直方体は、たて、横、高さの方向に辺があり、それぞれが4本ずつで立体が成り立っています。たて20cm、横30cm、高さ15cmですから、これらの長さが4本ずつの合計を計算します。(20＋30＋15)×4＝65×4＝260より、この直方体の辺の長さの合計は、260cmです。
(2) この直方体にリボンをかけたときの、リボン全体の長さを求める問題です。図に見えていない部分も考えてリボンのかけ方を確認します。
たて方向は下面も入れて2本で、20×2＝40cm
横方向は下面も入れて2本で、30×2＝60cm
高さ方向は左面・奥の面も入れて4本で、15×4＝60cm
また、結び目の長さ20cmも入れることを忘れずに計算します。
40＋60＋60＋20＝180より、リボンは全部で180cm使いますが、長さ単位はmですので、答えは1.8mです。
立方体の展開図を学習します。予習シリーズ177ページから178ページの説明は、見取り図と展開図の関係を表していて、とても重要です。特に(性質3)の内容はとても有効ですので、しっかり理解しておきましょう。
見取り図と展開図の関係を考える問題です。なお、マルの中に数の入る記号は、メルマガでは使えませんので、マル1のように表します。
(1) 見取り図において平行な面は、展開図においては隣り合うことはなく、面が3つ以上連続している場合は、1つとばした面どうしが平行な面となります。よって、マル1の面とマル3の面、マル2の面とマル4の面は、それぞれ平行な面となります。結果として、面ABCDと平行な面はマル5です。
(2) 予習シリーズ177ページから178ページの説明を使って解く問題です。解答は、予習シリーズの解き方を参照して下さい。
立方体のさいころについての問題を学習します。
さいころの目の数を考える問題です。基本的に、さいころの目は対面（向かい合う面、平行な面）にかかれた目の数の和が7になっています。このことを利用して、解く問題です。上段、下段の2つのさいころの、それぞれの側面の目の合計は、対面が上段に2組、下段に2組の合計4組あります。
そこで、目の数に関係なく、和の7が4組ですので、7×4＝28です。よって、表から見える9つの目の合計を最も大きくするには、上段の上の目の数を最大の6にすればよいのです。28＋6＝34より、答えは、34です。
立体を切り開いた展開図について考えます。
スタートの正方形において、つながっている辺をもつ正方形をかきます。これをくり返すことにより、展開図をかくことができます。予習シリーズ180ページの解き方を参照して下さい。また、自分で実際にかいていくとコツがつかめます。
今回の内容は、簡単なようでいて、むずかしい問題へとつながっていきます。1つ1つをきちんと理解して、今後も使えるように心がけて進んでいきましょう。
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