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No.834 100分で偏差値を5上げる!早稲アカ・四谷大塚5年10/6・4年 10/5組分けテストの戦い方

 5年の秋はとにかく比が重要です。それが、5年の秋が受験の山場といわれる所以です。4年生も円と多角形や、数の性質など重要単元が目白押しです。
 そこで、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、5年生は第5位から第1位まで、4年生は第3位から第1位までのランキングのかたちにまとめました。ぜひクラスアップを実現してください!応援しています!
 5年生の方は、このポイントを身につけて、すでに公開中の予想問題に取り組めば、パーフェクトです!
 予想問題はこちらのページで無料公開中です。 

《5年 第6回組分けテスト》

【第5位 逆比の利用:比の1あたりを求める考え方はできていますか?】

 比の文章題は問題文から比の関係を作り、それをもとに「比の1あたり」を求めていくという手順で考えていくと解き易いでしょう。

 「A君はミカン9個とリンゴ3個を買い、B君はミカン2個とリンゴ7個を買ったところ、2人の代金は等しくなりました。また、C君はミカン5個とリンゴ3個を買ったところ代金は410円になりました。このときA君の代金はいくらですか。」

 という問題を考えてみましょう。
 まず、比の関係を作ります。問題文からミカンを「ミ」、リンゴを「リ」とすると、 ミ×9+リ×3=ミ×2+リ×7となり、これを整理して ミ×7=リ×4 となります。ここで逆比を利用して、ミカン1個とリンゴ1個の比を求めると ミカン:リンゴ=1/7:1/4=4:7 となります。
 次に「比の1あたり」を求め、ミカンとリンゴの値段を求めます。C君の条件から「比の1あたり」は 410÷(4×5+7×3)=10(円)となり、ミカン1個は 10×4=40(円)、リンゴ1個は 10×7=70(円)と求まります。
 したがってA君の代金は 40×9+70×3=570(円) と求まります。
 今回は比の文章題で使いましたが、A×X=B×YからA:B=1/X:1/Yとして比を求めるやり方は、単元を問わずよく出題されます。しっかり練習して身につけておきましょう。

【第4位 高さが等しい図形:図形をよく見て、比を活用できるかたちにしましょう!】

 「高さが等しい三角形の面積の比は、底辺の比に等しい」という重要な考え方があります。慣れるまではどこに高さが等しい三角形があるのかを見つけるのに苦労すると思います。次の問題を使って、図形の中から高さが等しい三角形を見つけて利用する練習をしてみましょう。

          

「(図1)のように、三角形ABCを面積が等しい5つの三角形に分けました。このとき、BD:DF:FCとAE:EG:GCを求めなさい。」

 BD:DF:FCから考えていきます。
はじめに、BDが辺として使われている三角形を探すと三角形ABDが見つかります。次に辺BCの側を底辺にしたときに三角形ABDと高さが等しい三角形を探します。図をよく見ると三角形ADCが見つかると思います。このことから(図2)のように、BD:DC=1:4なります。


 

 今度は、DFが辺として使われている三角形を探すと三角形EDFが見つかります。先程と同じように、辺BCの側を底辺にしたときに三角形EDFと高さが等しい三角形を探します。図をよく見ると三角形EFCが見つかり、(図3)のようにDF:FC=1:2となります。

 (図2)と(図3)から同じDFの長さであることから、最小公倍数を使って比をそろえると(図4)のように、BD:DF:FC=3:4:8と求まります。

  AE:EG:GCも同じように考えていきます。
 AEが辺として使われている三角形を探すと三角形DAEが見つかり、辺ACの側を底辺にして三角形DAEと高さが等しい三角形を探すと三角形DECが見つかります。このことから、AE:EC=1:3となります。
 また、EGが辺として使われている三角形を探すと三角形FEGが見つかり、辺ACの側を底辺にして三角形FEGと高さが等しい三角形を探すと三角形FGCが見つかります。このことから、EG:GC=1:1となります。
 ECの長さに注目して比をそろえると、AE:EG:GC=2:3:3と求まります。
 この問題で目立つ間違いは、高さが等しくない三角形を使って比を作ってしまうというものです。目についた三角形をそのまま使うのではなく、高さが等しいか確認してから使っていきましょう。少しの注意でミスをかなり減らすことができます。

【第3位 比例式の利用:式が整理できれば、解きやすさに格段の差があります!】

 割合と比の文章題では「和が一定」でも「差が一定」でもない場合に、比例式を使って問題を解いていきます。比例式とは、A:B=C:DのときにA×D=B×C となる考え方です。

 「はじめの兄と弟の所持金の比は5:2でしたが、兄は300円を使い、弟は母から200円をもらったところ、兄と弟の所持金の比は3:2になりました。兄ははじめにいくら持っていましたか。」

という問題を考えてみましょう。
 はじめの兄の所持金をマル5、弟の所持金をマル2とします。比例式を作ると
(マル5-300):(マル2+200)=3:2
となります。式を整理して
(マル5-300)×2=(マル2+200)×3
マル10-600=マル6+600
両辺からマル6を引いて、600を足すと
マル4=1200
マル1=300
となります。したがって、はじめの兄の所持金は 300×5=1500(円)と求まります。
 比例式が利用できると、意外と簡単に解けてしまいます。実はこの方法は「和が一定」のときでも「差が一定」のときでも使うことができます。計算力に自信があるお子さんは、問題文からそのまま比例式を作って計算するのでかなり早く解くことができます。ぜひ練習して身につけましょう。

【第2位 相似の利用:与えられた図から相似を見つけるポイントとは!】

 平面図形の応用問題では「ピラミッド型」や「クロス型」の相似をみつけて、その比を利用して問題を解いていきます。次の問題を使って図形の中から相似を見つける練習をしてみましょう。

 「(図1)のような長方形ABCDがあります。EはABを2等分する点で、F、GはBCを3等分する点です。ACとDEの交点をH、ACとDFの交点をIとするとき、AH:HI:ICを求めなさい。」

 はじめにAHを辺として使っている三角形で、「ピラミッド型」や「クロス型」の相似になっている三角形を探します。三角形AHEと三角形CHDが(図2)のように「クロス型」の相似になっています。このことから、AH:HC=1:2となります。

  次にHIを辺として使っている三角形で、「ピラミッド型」や「クロス型」の相似になっている三角形を探しますが、今回はありません。
  最後にICを辺として使っている三角形で、「ピラミッド型」や「クロス型」の相似になっている三角形を探します。三角形IADと三角形ICFが(図3)のように「クロス型」の相似になっています。このことから、AI:IC=3:2となります。

 (図2)と(図3)から、同じACの長さであることから最小公倍数を使って比をそろえると(図4)のように、AH:HI:IC=5:4:6と求まります。

 相似を見つけられるかどうかは経験値に左右されます。多くの問題を解いて、見たことがある図形を増やすことが経験値を増やすことにつながっていきます。積極的に問題演習に取り組み、経験値を増やしていきましょう。

【第1位 比の積・比の商:比を使ったかけ算・わり算を正確にできていますか?】

 次の問題を考えてみましょう。

 「お財布の中に100円玉と50円玉が合わせて20枚入っています。100円玉だけの金額の合計と50円玉だけの金額の合計の比は 1:2 です。お財布には全部で何円入っていますか。」

 この問題でよくある間違えは、100円玉と50円玉の枚数の比を (100÷1):(50÷2)=4:1 としてしまう間違えです。数字の意味を考えると「1枚あたりの金額÷金額」となり意味のない式になっています。これはお子さんの経験上、文章題では大きな数を小さい数で割ることが多かったため、数字の意味を考えずに計算してこのような間違えになっていると考えられます。このような勘違いを直すために
「比は一番簡単な整数の比で表すのが決まりだから1:2という比は、見た目は小さな数だけども、もともとは 1000(円):2000(円) とか 5000(円):10000(円)を簡単にしているかもしれないよ。だから見た目の数字は小さくても「金額」という意味で考えないといけないよ。」
とお子さんに伝えてみてはいかがでしょうか。例に挙げる金額は極端に大きな数にして、「見た目は小さな数でも、もともとは大きな数だったはず」という印象を付けられると今後間違いが減っていくでしょう。
 では問題を解いていきます。「枚数=金額÷1枚あたりの金額」なので、100円玉と50円玉の枚数の比は (1÷100):(2÷50)=1:4 となり、100円玉は 20÷(1+4)×1=4(枚)、50円玉は 20-4=16(枚)と求まります。したがって、お財布には入っていた金額は 100×4+50×16=1200(円)となります。
 比の積、比の商の考え方は、文章題だけではなく図形などでも使っていきます。しっかり練習していつでも使えるようにしておきましょう。

《4年 第6回組分けテスト》

【第3位 約数と公約数:余りのある問題にも的確に対応できていますか?】

 0でない2つの整数A、Bがあり、AがBで割り切れるとき、BはAの約数になります。このことから約数の問題は「割り切れる」ところに着目して考えるとよいでしょう。

「ある整数Nがあります。98をNで割ると2余り、70をNで割ると6余ります。このような整数Nのうち、最小のものを求めなさい。」

という問題を考えてみましょう。
 この問題のポイントは「割られる数から余りを引けばNで割り切れる」という事です。割り切れるという事から約数ですが、条件が2つあるので公約数を考えます。98-2=96、70-6=64なので、96と64の公約数を求めます。「公約数は最大公約数の約数」ですから連除法を使って最大公約数を求めると32と求まるので、公約数は{1、2、4、8、16、32、}となります。ただし、Nは余りより大きい数です。したがって{8、16、32}のうち最も小さい8が答えとなります。
公約数に気をとられて、余りの条件を見落とすミスが多いです。落ち着いて問題文の条件に当てはまるものを答えましょう。

【第2位 円と正多角形:二等辺三角形を見つけることがポイントです!】

 正多角形の問題では辺の長さが同じであることから、二等辺三角形を発見して考えることが多いです問題文を読みながら、同じ長さのところに印をつけていくと発見しやすくなります。

「正六角形ABCDEFがあります。この6つの頂点を通る円をかき、さらに正六角形に重なるように円の内側に正方形CDGHをかきます。頂点Bと頂点Hを結び、その延長線と辺EFとの交点をIとします。このとき角BIFは何度ですか。」

という問題を考えてみましょう。
 円を利用して正六角形の1つの内角を求めます。中心と各頂点を結ぶと、1つの二等辺三角形の中心の角度が360÷6=60(度)となり正三角形であることがわかります。したがって正六角形の1つの角度は60×2=120(度)と計算できます。
正方形の1つの内角は90度なので角BCH=120-90=30(度)となります。また、正六角形と正方形は辺CDを共有しているのですべての辺の長さが等しくなっています。このことから三角形CBHが二等辺三角形とわかり、角CBH=(180-30)÷2=75(度)となります。
 ここで辺BCと辺EFは平行なので錯角が等しくなり、角CBH=角BIF=75(度)と求まります。
 正多角形の1つの内角は頻繁に使うのでこれを機に覚えてしまうとよいでしょう。ちなみに正三角形は60度、正方形は90度、正五角形は108度、正六角形は120度です。

【第1位 倍数と公倍数:2けたの2の倍数の個数を正確に求められますか?】

 次の問題は解き方に注意しましょう。

「2けたの整数で、2の倍数でも7の倍数でもない数は何個ありますか。」

 という問題を考えてみましょう。
 はじめに、2けたの整数の個数を求めると99-10+1=90(個)となります。
 次に、2けたの2の倍数の個数を求めます。99÷2=49あまり1、9÷2=4あまり1、49-4=45(個)となります。このとき、2けたの整数の個数を使って 90÷2=45と求めないようにしましょう。同じ数字なのであっているように見えますが、別の数の場合はずれてしまうことがあります。
 さらに、2けたの7の倍数の個数を求めます。99÷7=14あまり1、9÷7=1あまり2、14-1=13(個)となります。このとき、2けたの整数の個数を使って求めると、90÷7=12あまり6となってしまい個数がずれてしまいます。こうしたずれが起きないように正しい解き方で求めましょう。
 また、2けたの14(2と7の最小公倍数)の倍数の個数は 99÷14=7あまり1、1けたの14の倍数はないので7個と求まります。
 以上より、2けたの2の倍数または7の倍数の個数は 45+13-7=51(個)となり、2の倍数でも7の倍数でもない数は 90-51=39(個)と求まります。
 このように、式の意味を考えないと間違えてしまうことがあります。気をつけて解いていきましょう。

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